Kurs:Algebraische Kurven/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	0	3	0	3	0	5	0	5	4	0	7	3	2	44

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper ${}K$.
2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge ${}V$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
5. Eine monomiale Kurve.
6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in einem Punkt ${}P$.

Lösung

1. Man nennt den Quotientenkörper ${}Q(K[X])$ zum Polynomring ${}K[X]$ den rationalen Funktionenkörper über ${}K$.
2. Eine affin-algebraische Teilmenge ${}W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von ${}V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge ${}W\subset W'\subseteq V$ gibt.
3. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
4. Man nennt den ganzen Abschluss von ${}R$ im Quotientenkörper ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.
5. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

   mit ${}e_{i}\geq 1$ für alle ${}i$.

6. Die Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ schneiden sich im Punkt ${}P\in V(F,G)$ transversal, wenn ${}P$ sowohl auf ${}V(F)$ als auch auf ${}V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt ${}P$ verschieden sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
2. Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
3. Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.

Lösung

1. Es seien zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, gegeben, die nicht beide konstant seien. Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit

   ${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.$

2. Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
3. Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$, ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich. Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ ein Ideal mit Erzeugern

${}{\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,$

wobei ${}F_{0}=X-r$ mit ${}r\in R$ sei. Für ${}i\geq 1$ seien ${}G_{i}$ die Elemente aus ${}R$, die entstehen, wenn man in ${}F_{i}$ die Variable ${}X$ durch ${}r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

${}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

vorliegt.

Lösung

Wir betrachten den (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus

$R[X]\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}),\,X\longmapsto [r],$

der ${}X$ auf die Restklasse zu ${}r$ abbildet. Dabei wird ${}F_{0}=X-r$ auf ${}0$ und die ${}F_{i}$, ${}i\geq 1$, werden auf ${}G_{i}=0$ abgebildet. Nach dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R[X]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}).$

Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Es sei dazu

${}P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}\in R[X]\,,$

das unter ${}\varphi$ auf ${}0$ abgebildet wird, d.h. es ist ${}P(r)=a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}=0$ in ${}R/(G_{1},\ldots ,G_{n})$, und das bedeutet

${}a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}\in (G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

in ${}R$. Wir betrachten

${}{\begin{aligned}P-P(r)&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}-\sum _{i=0}^{n}a_{i}r^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}(X-r)H_{i},\end{aligned}}$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in ${}X^{i}-r^{i}$ stets ${}(X-r)$ ausklammern kann. Somit ist

${}P-P(r)\in (X-r)\,$

und insgesamt

${}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})\,.$

Wegen den entsprechenden Gleichungen

${}F_{i}-G_{i}=F_{i}-F_{i}(r)=(X-r)B_{i}\,$

mit gewissen ${}B_{i}$ und somit ist

${}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})=(X-r,F_{1},\ldots ,F_{n})={\mathfrak {a}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}s,t\in K$. Zeige, dass die drei Punkte ${}\left(s,\,s^{3}\right),\,\left(t,\,t^{3}\right),\,\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ auf einer Gerade liegen.

Lösung

Bei ${}s=t$ sind die ersten beiden Punkte gleich und die Behauptung stimmt. Es sei also ${}s\neq t$. Die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte ${}\left(s,\,s^{3}\right)$ und ${}\left(t,\,t^{3}\right)$ ist

${}{\left(t^{3}-s^{3}\right)}x-{\left(t-s\right)}y=st^{3}-ts^{3}\,.$

Hierbei kann man überall ${}t-s$ ausklammern und erhält die Gleichung

${}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}x-y=(t+s)st\,.$

Wir setzen nun den Punkt

${}(x,y)=\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\,$

in die Geradengleichung ein und erhalten

${}{\begin{aligned}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}{\left(-(s+t)\right)}+(s+t)^{3}&=-t^{3}-2t^{2}s-2ts^{2}-s^{3}+s^{3}+3s^{2}t+3st^{2}+t^{3}\\&=s^{2}t+st^{2},\end{aligned}}$

der Punkt liegt also auf der Geraden.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.

Lösung

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ das von den ${}F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass

${}\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$

leer ist. Dann ist ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von ${}1$, also ${}1$ selbst, zu ${}{\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${}{\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es seien ${}P=(a,b)$ und ${}Q=(c,d)$ Punkte auf ${}V$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit

${}\varphi (P)=Q\,$

gibt.

Lösung

Es genügt, für die beiden Punkte ${}(1,0)$ und ${}P=(a,b)\in V$ einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der ${}(1,0)$ in ${}P$ überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen (bzw. des Umkehrmorphismus) erhalten kann. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{2}\rightarrow K^{2}$, die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

gegeben ist. Diese bildet den Punkt ${}(1,0)$ auf ${}(a,b)$ ab. Ein Punkt ${}(x,y)\in V$ wird dabei auf ${}(ax-by,bx+ay)$ abgebildet. Für den Bildpunkt gilt

${}{\begin{aligned}(ax-by)^{2}+(bx+ax)^{2}&=a^{2}x^{2}-2abxy+b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+2abxy+a^{2}y^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})x^{2}+(a^{2}+b^{2})y^{2}\\&=x^{2}+y^{2}\\&=1,\end{aligned}}$

d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert ${}\varphi$ eine (algebraische) Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$. Entsprechend liefert die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ gegebene inverse Abbildung einen inversen Morphismus, sodass insgesamt ein Automorphismus vorliegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}f=xy^{3}+y+x^{3}=0\,$

gegebene Kurve in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass bei ${}\operatorname {char} (K)=7$ der Punkt ${}(4,2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass die Kurve bei ${}\operatorname {char} (K)\neq 7$ glatt ist.

Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=y^{3}+3x^{2}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=3xy^{2}+1\,.$

1. Im gegebenen Punkt ${}(4,2)$ ist

   ${}f(4,2)=4\cdot 2^{3}+2+4^{3}=32+2+64=98=0\,,$

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}(4,2)=8+3\cdot 16=56=0\,$

   und

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}(4,2)=3\cdot 4\cdot 4+1=49=0\,,$

   also liegt ein singulärer Punkt vor.

2. Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und ${}f$ über einem beliebigen Körper der Charakteristik ${}\neq 7$ keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus

   ${}y^{3}=-3x^{2}\,$

   und der Kurvengleichung folgt

   ${}x(-3x^{2})+y+x^{3}=y-2x^{3}=0\,,$

   also

   ${}y=2x^{3}\,.$

   Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt

   ${}y^{3}+3x^{2}=8x^{9}+3x^{2}={\left(8x^{7}+3\right)}x^{2}=0\,$

   Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt

   ${}3xy^{2}=3x{\left(2x^{3}\right)}^{2}=12x^{7}=-1\,.$

   Daraus folgt einerseits ${}x\neq 0$ und andererseits, dass wir Charakteristik ${}\neq 2,3$ annehmen können. Dann ist

   ${}x^{7}=-{\frac {3}{8}}\,$

   und

   ${}x^{7}=-{\frac {1}{12}}\,,$

   also

   ${}{\frac {3}{8}}={\frac {1}{12}}\,$

   bzw.

   ${}9=2\,,$

   was bei Charakteristik ${}\neq 7$ ausgeschlossen ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von ${}M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.

1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden

   ${}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,$

2. Die maximale Länge einer Kette von ${}K$- Algebren

   ${}K[M]=R_{0}\subset R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset R_{n}=K[T]\,.$

3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von ${}K$- Untervektorräumen

   ${}K[M]=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=K[T]\,.$

Lösung

Der Singularitätsgrad ${}\delta$ ist die Anzahl der Lücken von ${}M$ in ${}\mathbb {N}$, der nach [[Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt|Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt/Faktreferenznummer (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))]] mit ${}\dim _{K}(R^{\operatorname {norm} }/R)=\dim _{K}(K[T]/K[M])$ übereinstimmt.

1. Bei einer Kette von Monoiden

   ${}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,$

   muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, sodass ${}n\leq \delta$ ist. Wenn man ${}M_{i+1}$ sukzessive dadurch definiert, dass man zu ${}M_{i}$ das größte Element hinzunimmt, das nicht zu ${}M_{i}$ gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als ${}M_{i}$ besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge ${}\delta$ wie gewünscht.

2. Zur Kette der Länge ${}\delta$ gehört die Kette von ${}K$- Algebren

   ${}K[M]=K[M_{0}]\subset K[M_{1}]\subset K[M_{2}]\subset \ldots \subset K[M_{\delta }]=K[\mathbb {N} ]\,,$

   wobei die Inklusionen echt sind, da zu ${}T^{m}\in M_{i+1}\setminus M_{i}$ auch ${}T^{m}\in K[M_{i+1}]\setminus K[M_{i}]$ gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.

3. Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von ${}K$- Untervektorräumen. Wegen

   ${}\dim _{K}{\left(K[\mathbb {N} ]/K[M]\right)}=\delta \,$

   kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum ${}K[\mathbb {N} ]/K[M]$ entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension ${}\delta$ nur Ketten der maximalen Länge ${}\delta$ geben kann.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.

Lösung

Es sei ${}R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt ${}P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in ${}P$ glatt, und ${}B=R(F)$ ist nach Lemma 23.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Lemma 23.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ist dann ${}X$ eine Ortsuniformisierende von ${}B$. Da ${}G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist ${}G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in ${}B$ und daher ist ${}B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.

Für die Rückrichtung folgt aus Lemma 26.4 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)), dass die Multiplizität der beiden Kurven in ${}P$ eins sein muss und daher beide Kurven in ${}P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form ${}Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger ${}(F,G)$ durch ${}(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist ${}F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber ${}F-G$ in ${}B=R/(F)$ nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

im Punkt ${}(0,1,0)$ sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.

Lösung

Der Punkt liegt in der offenen Umgebung

${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(Y)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,,$

sodass wir darauf die Multiplizität bestimmen können. Wir setzen also ${}Y=1$ und erhalten die inhomogene Gleichung ${}X^{4}+Z^{3}+Z^{4}=0$. Die homogene Zerlegung ist

$Z^{3}+{\left(X^{4}+Z^{4}\right)}.$

Somit ist die Multiplizität gleich ${}3$ und ${}Z=0$ ist die einzige Gleichung für eine (affine) Tangente. Die einzige projektive Tangente ist der projektive Abschluss davon, also ${}V_{+}(Z)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

${}V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

mit der Geraden ${}V_{+}(X+Y+Z)$.

Lösung

Es sind offenbar

$(1,-1,0),\,(1,0,-1),\,(0,1,-1)\,$

Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden. Nach dem Satz von Bezout kann es nicht mehr Schnittpunkte geben.