Lösung
- Ein Punkt
heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
unendlich viele Folgenglieder mit
gibt.
- Eine polynomiale Funktion ist eine
Funktion
-
die man als eine Summe der Form
-
mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind.
- Das Wegintegral ist
-
- Man sagt, dass in
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
-
gilt.
- Zur differenzierbaren Funktion
-
heißt
ein kritischer Punkt, wenn
-
ist.
- Die Bilinearform
-
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen
-
und für alle , die induzierten Abbildungen
-
nicht die
Nullabbildung
sind.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen
in einem
metrischen Raum
.
- Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
-
- Der
Satz über implizite Abbildungen.
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Satz über Bilder kompakter Mengen.
Lösung
Wir betrachten die Funktionen
-
Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve
-
a) Berechne
und .
b) Berechne .
c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.
d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .
Lösung
a) Es ist
-
und
-
b) Es ist
c) Es ist
-
und
-
d) Skizze.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
- Wir betrachten
-
Die Matrix besitzt obere Dreiecksgestalt und somit sind die Diagonaleinträge
und
die verschiedenen Eigenwerte und die Abbildung ist diagonalisierbar. Es sei die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also
-
Dann ist
Diese Funktion ist von zu zu integrieren. Der vordere Summand hat als Stammfunktion, das zugehörige bestimmte Integral ist daher gleich . Der hintere Summand besitzt aber ein negatives Integral und somit ist
-
- Es sei eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von , und es gelte
-
Es sei eine stetig differenzierbare Kurve mit
-
und seien die Komponentenfunktionen bezüglich der Orthonormalbasis. Dann ist
Eine Stammfunktion von dieser Funktion ist
-
Daher ist
Wir betrachten die Funktion
-
- Bestimme, welche
Richtungsableitungen
von im Nullpunkt existieren.
- Bestimme für jeden weiteren Punkt
,
welche Richtungsableitungen von in existieren.
- Bestimme, in welchen Punkten die Funktion
total differenzierbar
ist.
Lösung
- Es sei
der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung
-
im Nullpunkt als Funktion in differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall
(mit dem Wert ),
da der Differenzenquotient zu von beiden Seiten her gegen konvergiert.
- Es sei
und
.
Es sei zunächst
und
.
Es geht um die Abbildung
-
Bei
handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also
.
Es ist
-
Der zweite Summand ist differenzierbar in , der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht.
Für
siehe den nächsten Teil.
- Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dazu ist zu zeigen, dass für gegen konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung
-
Für einen Punkt der Form mit
existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun
mit
.
Dann gibt es eine hinreichend kleine -Umgebung von derart, dass die erste Koordinate der Punkte aus das gleiche Vorzeichen hat wie . Auf ist
-
und daher ist in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.
Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen
-
in einem Punkt
eindeutig bestimmt ist.
Lösung
Angenommen, es gelte
-
und
-
mit linearen Abbildungen und und mit im Punkt stetigen Funktionen
mit
.
Wir müssen
zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab
(da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint)
und erhalten die Gleichung
-
Daher müssen wir zeigen, dass die
(konstante)
Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist.
Wir nehmen daher an, dass
-
gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit
ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor
mit
.
Dann gilt für
-
Dies impliziert, dass
für
gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich
.
Also gilt
, ein Widerspruch.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Gibt es ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt?
- Es ist
.
- Es ist
.
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
Lösung
Lösung
- Die
Jacobi-Matrix
ist
-
Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten sein. Aus der ersten Komponente folgt
und daraus aus der zweiten Komponente
,
da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt
-
mit
.
- Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die
Hesse-Matrix,
diese ist
-
In einem kritischen Punkt ist diese
-
und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob gerade oder ungerade ist. Das
charakteristische Polynom
ist
-
Die Hesse-Matrix hat somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach
[[Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/18/Klausur mit Lösungen (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
ist ihr
Typ
. Daher ist sie indefinit und nach
Satz 50.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es keine lokalen Extrema.
- Auf der Diagonalen wird die Funktion zu
.
Für
hat den Wert . Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach
Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden.
- Die Funktion hat im Nullpunkt den Wert . Für echt zwischen und sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor.
Es sei
-
Wie betrachten die Abbildung
-
Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung
-
erfüllen.
Lösung
Es ist
-
daher ist
-
da ja
nach Voraussetzung ist. Die linke Seite der zu überprüfenden Gleichung ist
Die rechte Seite ist ebenfalls
Bestimme für das Anfangswertproblem
-
explizite Formeln für die
Picard-Lindelöf-Iterationen.
Lösung
Beweise den Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.
Lösung
Es sei
und
vorgegeben. Aufgrund der
gleichmäßigen Konvergenz
gibt es ein mit
für alle
und alle
.
Wegen der
Stetigkeit
von in gibt es ein
mit
für alle
mit
.
Für diese gilt somit