Kurs:Analysis/Teil II/18/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 3 4 0 8 6 7 0 2 3 10 4 4 3 60




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Häufungspunkt einer Folge einem metrischen Raum .
  2. Eine polynomiale Funktion
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

    und einer stetig differenzierbaren Kurve

  4. Ein lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .

  5. Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion .
  6. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.


Lösung

  1. Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  2. Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion

    die man als eine Summe der Form

    mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind.

  3. Das Wegintegral ist
  4. Man sagt, dass in ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

    gilt.

  5. Zur differenzierbaren Funktion

    heißt ein kritischer Punkt, wenn

    ist.

  6. Die Bilinearform

    heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen

    und für alle , die induzierten Abbildungen

    nicht die Nullabbildung sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum .
  2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
  3. Der Satz über implizite Abbildungen.


Lösung

  1. Eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die in konvergiert, bereits in konvergiert.
  2. Es gibt ein mit
  3. Es sei offen und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

    derart, dass ist und eine Bijektion

    induziert.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über Bilder kompakter Mengen.


Lösung

Es sei eine Folge, wobei wir mit schreiben können. Da kompakt ist, gibt es nach Satz 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine konvergente Teilfolge , die gegen ein konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge gegen . Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und ist kompakt nach Satz 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

a) Berechne und .

b) Berechne .

c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.

d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .


Lösung

a) Es ist

und

b) Es ist

c) Es ist

und

d) Skizze.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

  1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares (mit ) und eine stetig differenzierbare Kurve

    mit derart an, dass das Wegintegral nicht ist.

  2. Es sei nun diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

    für jede stetig differenzierbare Kurve mit ist.


Lösung

  1. Wir betrachten

    Die Matrix besitzt obere Dreiecksgestalt und somit sind die Diagonaleinträge und die verschiedenen Eigenwerte und die Abbildung ist diagonalisierbar. Es sei die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also

    Dann ist

    Diese Funktion ist von zu zu integrieren. Der vordere Summand hat als Stammfunktion, das zugehörige bestimmte Integral ist daher gleich . Der hintere Summand besitzt aber ein negatives Integral und somit ist

  2. Es sei eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von , und es gelte

    Es sei eine stetig differenzierbare Kurve mit

    und seien die Komponentenfunktionen bezüglich der Orthonormalbasis. Dann ist

    Eine Stammfunktion von dieser Funktion ist

    Daher ist


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme, welche Richtungsableitungen von im Nullpunkt existieren.
  2. Bestimme für jeden weiteren Punkt , welche Richtungsableitungen von in existieren.
  3. Bestimme, in welchen Punkten die Funktion total differenzierbar ist.


Lösung

  1. Es sei der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung

    im Nullpunkt als Funktion in differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert ), da der Differenzenquotient zu von beiden Seiten her gegen konvergiert.

  2. Es sei und . Es sei zunächst und . Es geht um die Abbildung

    Bei handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also . Es ist

    Der zweite Summand ist differenzierbar in , der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht.

    Für siehe den nächsten Teil.

  3. Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dazu ist zu zeigen, dass für gegen konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung

    Für einen Punkt der Form mit existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun mit . Dann gibt es eine hinreichend kleine -Umgebung von derart, dass die erste Koordinate der Punkte aus das gleiche Vorzeichen hat wie . Auf ist

    und daher ist in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen

in einem Punkt eindeutig bestimmt ist.


Lösung

Angenommen, es gelte

und

mit linearen Abbildungen und und mit im Punkt stetigen Funktionen mit . Wir müssen zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung

Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass

gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor mit . Dann gilt für

Dies impliziert, dass für gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich . Also gilt , ein Widerspruch.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Lösung

Es sei ein Untervektorraum der Dimension , auf dem die eingeschränkte Bilinearform positiv definit ist. Einen solchen Untervektorraum muss es nach der Definition des Typs geben. Nach der Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen besitzt mindestens die Dimension . Da dies ein Untervektorraum von ist, auf dem die Form positiv definit ist, gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Gibt es ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt?

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist


Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt als

ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist , wir können also durch ersetzen. Die partielle Ableitung von nach ist

Die vierte Bedingung ergibt und die sechste Bedingung ergibt

Die Bedingungen lassen sich also nicht simltan erfüllen.


Aufgabe (10 (2+4+2+2) Punkte)

Es sei .

  1. Bestimme die kritischen Punkte von auf .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Zeige, dass die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
  4. Bestimme, ob die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix ist

    Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten sein. Aus der ersten Komponente folgt und daraus aus der zweiten Komponente , da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt

    mit .

  2. Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die Hesse-Matrix, diese ist

    In einem kritischen Punkt ist diese

    und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob gerade oder ungerade ist. Das charakteristische Polynom ist

    Die Hesse-Matrix hat somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach [[Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/18/Klausur mit Lösungen (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] ist ihr Typ . Daher ist sie indefinit und nach Satz 50.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es keine lokalen Extrema.

  3. Auf der Diagonalen wird die Funktion zu . Für hat den Wert . Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden.
  4. Die Funktion hat im Nullpunkt den Wert . Für echt zwischen und sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Wie betrachten die Abbildung

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung

erfüllen.


Lösung

Es ist

daher ist

da ja nach Voraussetzung ist. Die linke Seite der zu überprüfenden Gleichung ist

Die rechte Seite ist ebenfalls


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Anfangswertproblem

explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.


Lösung

Wir behaupten, dass die -te Picard-Lindelöf-Iteration gleich

ist. Dies beweisen wir durch Induktion nach , wobei der Anfang klaar ist, da wegen der Anfangsbedingung

ist. Der Induktionsschritt ergibt sich aus


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.


Lösung

Es sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit