Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18/kontrolle
- Übungsaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.
Wir betrachten die Funktion
Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
mit Hilfe von
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Es sei und .
a) Bestimme die Ableitung von und von .
b) Berechne die Hintereinanderschaltung .
c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
Es sei
eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()
die Beziehung
gilt.
Die Funktion
sei für negatives konstant gleich und folge für dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.
Es sei
ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung
mit einem Polynom vom Grad .
Es sei
ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung
mit einem Polynom vom Grad .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.
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