Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 47/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum ${}{V}^{*}$ die gleiche Dimension wie ${}V$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ . Es sei

{}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,

der Dualraum zu ${}V$ . Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ , die durch

v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Linearform

L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.

Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft
$\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.
Es sei ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$ . Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft
$\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}

eine Linearform und ${}v\in V$ der zugehörige Gradient im Sinne von Fakt *****. Zeige, dass der Gradient ${}u\in U$ zur Einschränkung ${}f{|}_{U}$ die orthogonale Projektion von ${}v$ auf ${}U$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Gradienten der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Gradienten der Funktion

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xyz-z^{2}}{\ln(xy)+z^{2}}},

in jedem Punkt ${}P\in G$ mit ${}G=\mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R}$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und ${}L\times M$ ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,

über einem Punkt

{}y\in M

. Kann die Faser leer sein?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien ${}L_{1},\ldots ,L_{n}$ und ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und seien

\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}

Abbildungen. Zu einem Punkt ${}P_{i}\in M_{i}$ sei ${}F_{i}\subseteq L_{i}$ die Faser von ${}\varphi _{i}$ über ${}P_{i}$ . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung ${}\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ über ${}P=(P_{1},\ldots ,P_{n})$ gleich ${}F_{1}\times \cdots \times F_{n}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Anstieg der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$ . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.

Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$ .
Es sei
${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$ . Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ .
Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.