Kurs:Differentialgeometrie/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	0	2	0	3	7	0	7	4	3	3	7	2	9	7	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Gauß-Abbildung zu einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Eine topologische Karte auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ${}M$.
3. Eine ${}C^{1}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
5. Eine lokale Isometrie ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten.
6. Ein lokal integrabler Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Das Theorema egregium.
3. Der Satz über die Partition der Eins.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I=[a,b]\rightarrow Y$ eine geodätische Kurve. Zeige, dass der Paralleltransport längs ${}\gamma$ den tangentialen Vektor ${}\gamma '(a)\in T_{\gamma (a)}Y$ in den tangentialen Vektor ${}\gamma '(b)\in T_{\gamma (b)}Y$ überführt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto (\vert {x}\vert ,y),$

differenzierbar?

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$. Zeige, dass

${}\int _{M}\omega <\infty \,$

ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

a) Man gebe eine topologische Eigenschaft an, die zeigt, dass das offene Einheitsintervall und die Kreissphäre ${}S^{1}$ nicht homöomorph sind.

b) Zeige, dass jede stetige ${}1$- Differentialform auf ${}]0,1[$ exakt ist.

c) Man gebe eine konkrete geschlossene ${}1$-Form auf ${}S^{1}$ an, die nicht exakt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

${}d(df)=0\,,$

wobei ${}d$ die äußere Ableitung bezeichnet.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$

in reellen Koordinaten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und ${}P\in H$. Es gebe eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge ${}V$ mit ${}P\in V\subseteq H$. Zeige, dass ${}P$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es eine Mannigfaltigkeit mit Rand ${}N$ gibt, deren Rand ${}\partial N$ diffeomorph zur ${}(n-1)$-dimensionalen Sphäre ${}S^{n-1}$ ist und derart, dass ${}M\setminus \{P\}$ und ${}N\setminus \partial N$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${}\mathbb {R} ^{d}$ an.

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.

Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ über ${}\mathbb {R}$ den trivialen Zusammenhang ${}\nabla$.

1. Zeige, dass ${}f_{1}(t)=\left(1+t^{2},\,t^{3}\right)$ und ${}f_{2}(t)=\left(t,\,1+t^{2}\right)$ Basisschnitte des Vektorbündels sind.
2. Drücke die Standardbasisschnitte ${}e_{1},e_{2}$ als Linearkombination der Basisschnitte ${}f_{1},f_{2}$ aus.
3. Bestimme die Christoffelsymbole von ${}\nabla$ bezüglich dieser Basisschnitte.