- Die Weingartenabbildung für parametrisierte Mannigfaltigkeiten
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
mit
offen eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Menge
,
man kann also
als eine
Karte
für
auffassen. Dabei ist
für
mit
-
![{\displaystyle {}T_{P}Y=\operatorname {bild} \left(D\varphi \right)_{Q}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d999570574ae05eea0ad934047da0755e6e125)
es liegt also ein linearer Isomorphismus
-
vor, der den Tangentialraum
beschreibt. Die Standardbasisvektoren
werden auf
abgebildet und bilden eine Basis des Tangentialraumes. Wenn man
mit der von der euklidischen Struktur des
induzierten
riemannschen Struktur
versieht, so erhält man die Funktionen
-
![{\displaystyle {}g_{ij}(Q)=\left\langle \partial _{i}\varphi (Q),\partial _{j}\varphi (Q)\right\rangle \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf07c549a43e3be6a28fdfa3ef68a26d0e03c48)
die man zur ersten Fundamentalmatrix
(metrischen Fundamentalmatrix)
-
![{\displaystyle {}G={\left(g_{ij}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f37e43f0f594ee0e16ebcc570b296cdaf52382)
zusammenfasst. Die erste Fundamentalmatrix ist durch die riemannsche Struktur von
vollständig bestimmt.
Die
Weingartenabbildung
-
kann man bezüglich der Basis
beschreiben. Dies geschieht am besten, wenn man die sogenannte zweite Fundamentalmatrix einführt. Dazu sei
durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
was unter Rückgriff auf die beschreibende Funktion
möglich ist. Das Einheitsnormalenfeld eingeschränkt auf
kann man unmittelbar auf
auffassen. Wegen der vorausgesetzten zweifachen stetigen Differenzierbarkeit von
und der von
ist das Einheitsnormalenfeld auf
differenzierbar. Wir definieren.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern
. Es sei
durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir
als Feld auf
auffassen. Dann setzt man
-
![{\displaystyle {}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5a48fc687fa12d9800e773faa2e94f66449848)
Die
zweite Fundamentalmatrix
zu
ist die
(von
)
abhängige Matrix
-
![{\displaystyle {}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e33a6531cf8342267f72e4899e2d1f948a476e)
In dieser Definition wird auf das Einheitsnormalenfeld und über das Skalarprodukt auf die riemannsche Struktur von
Bezug genommen. Die zweite Fundamentalmatrix ist nach
dem Satz von Schwarz
symmetrisch.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern
. Es sei
durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir
als Feld auf
auffassen.
Dann gilt
-
![{\displaystyle {}h_{ij}=-\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c87c88088df6cf98327dbf1b2bb704b4132d58)
Da das
Einheitsnormalenfeld
senkrecht auf den
Tangentialräumen
an
steht, gilt
-
![{\displaystyle {}\left\langle \partial _{i}\varphi ,N\right\rangle =0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2be7ebfa07a29a797cbe2e4c6d321efe83925a)
Daraus folgt
-
![{\displaystyle {}0=\left\langle \partial _{j}\partial _{i}\varphi ,N\right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6871316a9abc1fc4b4d4c8b93fb4bac31f5971b)
was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Wir beschränken uns nun auf den Fall
.
Es liegt die erste Fundamentalmatrix
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af94b45ae1ebe837b5d8051e6ead6f7a1fcac9f)
mit
-
![{\displaystyle {}g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8b4172c14fd2ae2b2f192d2745e0bfcfd794d2)
vor, wobei wir im jetzigen Kontext die erste Bezeichnung vorziehen, und die zweite Fundamentalmatrix
-
vor. Für die in der folgenden Aussage aufgeführten Voraussetzungen sagt man auch kurz, dass eine orientierte Fläche oder eine stückweise parametrisierte orientierte Fläche im
vorliegt.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern
. Es sei
durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir
als Feld auf
auffassen. Es sei
die
erste
und
die
zweite Fundamentalmatrix
zu
. Zu
sei
die Matrix, die die
Weingartenabbildung
-
bezüglich der Basis
und
von
beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}H=G\cdot W\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc7c2886e606e235c2f7bcd9a47c9aae6732341)
- Es ist
-
![{\displaystyle {}W=G^{-1}H\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50c0a91a9ad2046e7d5aed056d897f7a15fb007)
- Es ist
-
![{\displaystyle \partial _{1}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d27ebbd84adb7ce05f86eb2c2ca6d7774d6bfe2)
und
-
![{\displaystyle \partial _{2}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf550aaad8834ddf31a9c97683efaffce33c05c)
- Für die
Gaußkrümmung
von
gilt
-
![{\displaystyle {}K={\frac {\det H}{\det G}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b99afa2504ece432a1fa89115ca78053dc2d9d0)
- Es ist nach Definition von
-
![{\displaystyle {}L_{P}(\partial _{1}\varphi )=w_{11}\partial _{1}\varphi +w_{21}\partial _{2}\varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cacf7ef09284096972074e41573360fdd9b5bdae)
und
-
![{\displaystyle {}L_{P}(\partial _{2}\varphi )=w_{12}\partial _{1}\varphi +w_{22}\partial _{2}\varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46dd4b24cf505afe0881cae9a591fb8ac9bd7e5f)
Daher ist nach
Lemma 19.2
-
![{\displaystyle {}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{P}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,w_{1j}\partial _{1}\varphi +w_{2j}\partial _{2}\varphi \right\rangle =w_{1j}g_{i1}+w_{2j}g_{i2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0defc70593519e4bbc62c270820a7679ae47af4c)
- Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit
von links.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}\partial _{i}N=-L(\partial _{i}\varphi )=-w_{1i}\partial _{1}\varphi -w_{2i}\partial _{2}\varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024fb99db1012dcf94dfa0b23c626d8b62ecdf50)
und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von
-
![{\displaystyle {}G^{-1}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f9e8b7d272b0dbb7e56de4afd1e64866849b15)
Damit ist
-
![{\displaystyle {}W={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{12}&h_{22}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6578ca6bb7c312f887881e9e135cfb53ddf0d5d)
und somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\partial _{1}N&=-w_{11}\partial _{1}\varphi -w_{21}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75d3cd45d1336765a6e68e24bc97d4629379374)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\partial _{2}N&=-w_{12}\partial _{1}\varphi -w_{22}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e0a3376b53d09208cd87ea54ee762ef443361f)
- Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit
dem Determinantenmultiplikationssatz.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- Die Gaußkrümmung als intrinsisches Konzept
Beispiel 18.5
zeigt, dass es Isometrien zwischen riemannschen Flächen
(etwa zwischen einem ebenen Flächenstück und einem Zylindermantel)
gibt, unter den die Weingartenabbildung und die Hauptkrümmungen nicht erhalten bleiben. In der Ebene ist die Weingartenabbildung die Nullabbildung, auf dem Zylinder besitzt sie die Eigenwerte
und
, wenn
den Radius bezeichnet. Allerdings ist das Produkt der Eigenwerte, also die Determinante der Weingartenabbildung, die ja wiederum die Gaußsche Krümmung ist, für beide Flächen gleich
. Wir werden in der Tat zeigen, dass die Gaußsche Krümmung einer Fläche im
allein durch die riemannsche Struktur bestimmt ist.
Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare
orientierte Fläche
und sei
-
offen,
eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von
mit den Parametern
. Es sei
das
Einheitsnormalenfeld
aufgefasst auf
. Es sei
die
zweite Fundamentalmatrix
zu
. Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}u}}=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{11}N\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fff5f115dcf53180b332f0af675ca44c542eb52)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{12}N\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4373f233fd5913dba1c5fee8a55763989fba1e)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=\Gamma _{21}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{21}N\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e811135a8865a19e0466ec14c2cc474c3b3cc8)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}v}}=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{22}N\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ce01bc07786c864512491df3e329daa37e90d4)
definierten Funktionen
-
die
Christoffelsymbole
zu
.
Man beachte, dass
in jedem Punkt
eine Basis des
bilden und dass daher überhaupt jeder Vektor mit eindeutigen Koeffizienten als Linearkombination bezüglich dieser Basis geschrieben werden kann. Allerdings variiert die Basis mit
und entsprechend sind die Christoffelsymbole Funktionen. Da
normiert ist und senkrecht auf den beiden anderen Basisvektoren steht, ergibt sich der Koeffizient, der sich auf
bezieht, als Skalarprodukt
.
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\partial _{k}g_{ij}&=\partial _{k}\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \partial _{k}\partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{k}\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ki}N,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{kj}N\right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi \right\rangle \\&=\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdc9a595af837df9746df256cc648da29a67a82)
Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\\&=\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}+\Gamma _{ik}^{1}g_{j1}+\Gamma _{ik}^{2}g_{j2}+\Gamma _{jk}^{1}g_{1i}+\Gamma _{jk}^{2}g_{2i}+\Gamma _{ji}^{1}g_{k1}+\Gamma _{ji}^{2}g_{k2}-{\left(\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}\right)}\\&=2{\left(\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}\right)}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b717f2517a4039fc5e53c21bc0f9fe529d4d32)
Es liegt also die Matrixbeziehung
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\\\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{ij}^{1}\\\Gamma _{ij}^{2}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b06a7e83cffba51af08d557c317dc58b64cbd9e)
vor, woraus durch Multiplikation mit
die Behauptung folgt.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)