Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein
Körper
.
- Ein inverses Element zu einem Element
bezüglich einer
Verknüpfung
-
mit einem
neutralen Element
.
- Ähnliche
Matrizen
.
- Eine Determinantenfunktion
-
wobei
ein
-dimensionaler
Vektorraum
über einem
Körper
ist.
- Die Permutationsgruppe zu einer Menge
.
- Ein Eigenwert zu einer
linearen Abbildung
-
auf einem
-Vektorraum
.
Lösung
- Ein Körper
ist ein
kommutativer Ring,
wenn
ist und wenn jedes von
verschiedene Element in
ein multiplikatives Inverses besitzt.
- Zu
heißt
inverses Element, wenn die Gleichheit
-

gilt.
- Die Matrizen
heißen
ähnlich,
wenn es eine
invertierbare Matrix
mit
gibt.
- Die
Abbildung
-
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
ist multilinear.
ist alternierend.
- Man nennt die Menge
-

der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu
.
- Ein Element
heißt ein Eigenwert zu
, wenn es einen von
verschiedenen Vektor
mit
-

gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper
.
- Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
- Der Satz von
Cayley-Hamilton.
Lösung
- Jedes
(inhomogene)
lineare Gleichungssystem über einem Körper
lässt sich durch elementare Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein
äquivalentes lineares Gleichungssystem
der Stufenform
-
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten
von
verschieden sind.
- Es sei
ein
Körper
und seien
und
Vektorräume
über
, wobei
endlichdimensional
sei. Es sei
-
eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren
und
Linearformen
auf
mit
-

- Es sei
ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Es sei
-
das
charakteristische Polynom
zu
.
Dann gilt
-
Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie
, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren
etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein
(und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim).
Die U-Bahnen nach Konsau fahren also
etc. ab.
Was bedeutet das Wort „linear“ in der Linearen Algebra?
Lösung Lineare Algebra/Linear/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)
- Löse das folgende Minisudoku
-
- Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
- Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?
Lösung
-
- Wir gehen von
-
aus. In der dritten Stelle der zweiten Zeile muss eine
sein und somit muss rechts oben eine
stehen. Dies ergibt
-
An der vierten Stelle der dritten Zeile muss eine
stehen. In der vierten Zeile muss an der dritten Stelle eine
und somit in der vierten Zeile an der ersten Stelle eine
stehen. Dies ergibt
-
Dies erzwingt
-
An der zweiten Stelle der ersten Zeile muss eine
stehen, dies ergibt dann die eindeutige Lösung
-
-
- Direkter Beweis: Durch Betrachten der schon gefundenen Zahlen erschließt man, welche Zahl in ein bestimmtes Feld gesetzt werden muss.
- Beweis durch Fallunterscheidung: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir
oder
möglich sind. Wenn man nun in beiden Fällen, dass es sich um
oder um
handelt, jeweils erschließen kann, dass in einem bestimmten anderen Feld die Zahl
stehen muss, so steht diese Zahl fest.
- Beweis durch Widerspruch: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir
oder
möglich sind. Man nimmt nun an, dass es sich um
handelt. Wenn man nun erschließen kann, dass sich daraus an irgendeiner Stelle ein Widerspruch ergibt, so kann die Belegung durch
nicht gelten und
ist richtig.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable
aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist
-
Wir eliminieren nun
die Variable
, aus der dritten Gleichung
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-

und
-

Also ist
-

Beweise das Basisaustauschlemma.
Lösung
Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen
-
und

den Vektor

als
-
schreiben. Sei nun
beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung
an. Es sei
-
eine Darstellung der Null. Dann ist
-

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere

, und wegen

ergibt sich

. Deshalb ist

und daher gilt

für alle

.
Lösung
Heidi muss pro Tag
mal
Gramm Heidelbeeren essen, also
Kilogramm. Wegen
sind das
Heidelbeeren pro Tag. Die
Stunden haben
Sekunden. Es ist
. Sie muss also alle
Sekunden eine Heidelbeere essen.
Bestimme eine
Basis
des
Urbildes
von
-

zur
linearen Abbildung
-
Lösung
Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Wir ersetzen die dritte Gleichung durch -4I-7II+III und erhalten das äquivalente System
-
Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus
der Dimensionsformel
folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von
im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst
und
und erhalten
,
-

und
.
Wenn wir
und
setzen, erhalten wir
,
-

und
.
Eine Basis des Urbildes ist daher durch die beiden Vektoren
und
gegeben.
Lösung
Wir nehmen zunächst an, dass

und

isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
-
existiert.
Sei
eine Basis von
. Aufgrund der Surjektivität von
existieren Elemente
in
mit
.
Sei
eine Darstellung der 0. Dann ist

weil
linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass
linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) (4) ist die Dimension von
damit mindestens so hoch wie die von
. Mithilfe der Umkehrabbildung zu
können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von
mindestens so hoch ist, wie die von
. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen
von
und
von
gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen
bzw.
gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind
und
isomorph.
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
-
Lösung
Die Determinante von
ist
-

und die Determinante von
ist
-

Das Produkt der beiden Matrizen ist
-

Die Determinante davon ist

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
Lösung
Sei
. Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
-
Die Koeffizienten des Produktes
sind
-

Bei

ist dies

, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der

-ten Spalte handelt. Sei

und es sei

die Matrix, die aus

entsteht, wenn man in

die

-te Spalte durch die

-te Spalte ersetzt. Wenn man

nach der

-ten Spalte entwickelt, so ist dies
-

Also sind diese Koeffizienten
, und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Geichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.
Es sei
-

Bestimme
.
Lösung
Es ist

Lösung
Lösung
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
-

-

-

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Bestimme, ob die reelle Matrix
-
trigonalisierbar
und ob sie
diagonalisierbar
ist.
Lösung
Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Den vorderen Faktor schreiben wir als
-

Daran erkennt man, dass dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt und somit nicht in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar und somit auch nicht diagonalisierbar.
Beschreibe die
affine Gerade
-

als
Urbild
über
einer
affinen Abbildung
.
Lösung
Der Richtungsvektor
gehört jeweils zum
Kern
der beiden
linear unabhängigen Linearformen
und
.
Daher machen wir den Ansatz
-

Für den Aufpunkt
ergibt sich die Bedingung
-

also ist
und
.
Somit ist
-

eine affine Abbildung mit Urbild über 1 wie gewünscht.