Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein
Körper
.
- Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer
Verknüpfung
-
mit einem
neutralen Element
.
- Ähnliche
Matrizen .
- Eine Determinantenfunktion
-
wobei ein -dimensionaler
Vektorraum
über einem
Körper
ist.
- Die Permutationsgruppe zu einer Menge .
- Ein Eigenwert zu einer
linearen Abbildung
-
auf einem
-
Vektorraum
.
Lösung
- Ein Körper ist ein
kommutativer Ring,
wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
- Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit
-
gilt.
- Die Matrizen heißen
ähnlich,
wenn es eine
invertierbare Matrix
mit
gibt.
- Die
Abbildung
-
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- ist multilinear.
- ist alternierend.
- Man nennt die Menge
-
der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu .
- Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit
-
gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper .
- Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
- Der Satz von
Cayley-Hamilton.
Lösung
- Jedes
(inhomogene)
lineare Gleichungssystem über einem Körper lässt sich durch elementare Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein
äquivalentes lineares Gleichungssystem
der Stufenform
-
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.
- Es sei ein
Körper
und seien
und
Vektorräume
über , wobei
endlichdimensional
sei. Es sei
-
eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren und
Linearformen
auf mit
-
- Es sei ein
Körper und sei eine
-
Matrix
über . Es sei
-
das
charakteristische Polynom
zu .
Dann gilt
-
Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein
(und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim).
Die U-Bahnen nach Konsau fahren also etc. ab.
Was bedeutet das Wort „linear“ in der Linearen Algebra?
Lösung Lineare Algebra/Linear/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)
- Löse das folgende Minisudoku
-
- Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
- Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?
Lösung
-
- Wir gehen von
-
aus. In der dritten Stelle der zweiten Zeile muss eine sein und somit muss rechts oben eine stehen. Dies ergibt
-
An der vierten Stelle der dritten Zeile muss eine stehen. In der vierten Zeile muss an der dritten Stelle eine und somit in der vierten Zeile an der ersten Stelle eine stehen. Dies ergibt
-
Dies erzwingt
-
An der zweiten Stelle der ersten Zeile muss eine stehen, dies ergibt dann die eindeutige Lösung
-
-
- Direkter Beweis: Durch Betrachten der schon gefundenen Zahlen erschließt man, welche Zahl in ein bestimmtes Feld gesetzt werden muss.
- Beweis durch Fallunterscheidung: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Wenn man nun in beiden Fällen, dass es sich um oder um handelt, jeweils erschließen kann, dass in einem bestimmten anderen Feld die Zahl stehen muss, so steht diese Zahl fest.
- Beweis durch Widerspruch: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Man nimmt nun an, dass es sich um handelt. Wenn man nun erschließen kann, dass sich daraus an irgendeiner Stelle ein Widerspruch ergibt, so kann die Belegung durch nicht gelten und ist richtig.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist
-
Wir eliminieren nun
die Variable , aus der dritten Gleichung
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-
und
-
Also ist
-
Beweise das Basisaustauschlemma.
Lösung
Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen
-
und
den Vektor
als
-
schreiben. Es sei nun beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung an. Es sei
-
eine Darstellung der Null. Dann ist
-
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere
, und wegen
ergibt sich
. Deshalb ist
und daher gilt
für alle
.
Lösung
Heidi muss pro Tag mal Gramm Heidelbeeren essen, also Kilogramm. Wegen sind das Heidelbeeren pro Tag. Die Stunden haben Sekunden. Es ist . Sie muss also alle Sekunden eine Heidelbeere essen.
Bestimme eine
Basis
des
Urbildes
von
-
zur
linearen Abbildung
-
Lösung
Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Wir ersetzen die dritte Gleichung durch -4I-7II+III und erhalten das äquivalente System
-
Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus
der Dimensionsformel
folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst
und
und erhalten
,
-
und
.
Wenn wir
und
setzen, erhalten wir
,
-
und
.
Eine Basis des Urbildes ist daher durch die beiden Vektoren und gegeben.
Lösung
Wir nehmen zunächst an, dass
und
isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
-
existiert.
Es sei eine Basis von . Aufgrund der Surjektivität von existieren Elemente in mit .
Es sei eine Darstellung der 0. Dann ist
weil linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) (4) ist die Dimension von damit mindestens so hoch wie die von . Mithilfe der Umkehrabbildung zu können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von mindestens so hoch ist, wie die von . Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen von und von gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen bzw. gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind und isomorph.
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
-
Lösung
Die Determinante von ist
-
und die Determinante von ist
-
Das Produkt der beiden Matrizen ist
-
Die Determinante davon ist
Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
Lösung
Es sei . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
-
Die Koeffizienten des Produktes sind
-
Bei
ist dies
, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der
-ten Spalte handelt. Es sei
und es sei
die Matrix, die aus
entsteht, wenn man in
die
-te Spalte durch die
-te Spalte ersetzt. Wenn man
nach der
-ten Spalte entwickelt, so ist dies
-
Also sind diese Koeffizienten , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.
Es sei
-
Bestimme .
Lösung
Es ist
Lösung
Lösung
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
-
-
-
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Bestimme, ob die reelle Matrix
-
trigonalisierbar
und ob sie
diagonalisierbar
ist.
Lösung
Das charakteristische Polynom der Matrix ist
Den vorderen Faktor schreiben wir als
-
Daran erkennt man, dass dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt und somit nicht in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar und somit auch nicht diagonalisierbar.
Beschreibe die
affine Gerade
-
als
Urbild
über einer
affinen Abbildung
.
Lösung
Der Richtungsvektor gehört jeweils zum
Kern
der beiden
linear unabhängigen Linearformen
und .
Daher machen wir den Ansatz
-
Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung
-
also ist
und
.
Somit ist
-
eine affine Abbildung mit Urbild über 1 wie gewünscht.