Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	5	2	3	5	0	0	6	0	3	4	3	0	5	42

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$.
2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${}x\in M$ in einer Menge ${}M$ mit einer Äquivalenzrelation ${}\sim$.
5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Den durch Körperwechsel ${}K\subseteq L$ aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Lösung

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ ist durch

   ${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

   gegeben.

2. Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
3. Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
4. Die Äquivalenzklasse zu ${}x$ ist die Menge

   ${}[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$

5. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

   ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

   existiert.

6. Zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$ und einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man ${}L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
2. Der Satz des Thales.
3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.

Lösung

1. Jede eigentliche, lineare Isometrie

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine Drehung.
2. Es sei ${}P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene ${}E$, ${}K$ der Kreis mit Radius ${}r>0$ und Mittelpunkt ${}P$ und es sei ${}G$ eine Gerade durch ${}P$, die den Kreis in den Punkten ${}A$ und ${}B$ trifft. Dann ist für jeden Punkt ${}C\in K$ das Dreieck ${}A,B,C$ rechtwinklig an ${}C$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

   $V_{1}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des ${}\mathbb {R} ^{2}$, aber nicht als Teilraum von ${}\mathbb {R}$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisieren kann.

Lösung

a) Wir betrachten den Teilraum ${}M=\{0,(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ${}M$ ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand ${}1$, und diese haben zueinander den Abstand ${}{\sqrt {2}}$. In ${}\mathbb {R}$ gibt es zu jedem Punkt ${}P$ genau zwei Punkte mit dem Abstand ${}1$ nämlich ${}P-1$ bzw ${}P+1$, und diese haben aber zueinander den Abstand ${}2$.

b) Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die folgende endliche Teilmenge: Es seien ${}P,Q$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{3}$, die zueinander den Abstand ${}1$ besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius ${}{\frac {2}{3}}$, also ${}S_{1}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,P)={\frac {2}{3}}\right\}}$ und ${}S_{2}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,Q)={\frac {2}{3}}\right\}}$. Der Durchschnitt ${}S_{1}\cap S_{2}$ ist eine Kreislinie ${}K$. Es seien ${}R_{1},R_{2},R_{3}$ drei Punkte auf ${}K$ und wir betrachten die Teilmenge

${}N=\{P,Q,R_{1},R_{2},R_{3}\}\,$

mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand ${}1$ nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand ${}{\frac {2}{3}}$ haben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}$

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ und ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}-1$ von ${}M$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \\-\sin \alpha \sin \alpha -\cos \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\-1+\cos \alpha \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \alpha -\cos \alpha +\sin \alpha \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha \sin \alpha \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1-\cos \alpha \\-\sin \alpha \end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ besitzt.

Lösung

Wir betrachten das charakteristische Polynom von ${}\varphi$, also

${}P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ${}\lambda =0$ ergibt sich

${}P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$

Da für ${}\lambda \to \infty$ das Polynom ${}P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives ${}\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt ***** kommt dafür nur ${}\lambda =1$ in Frage.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im ${}\mathbb {R} ^{2}$, es geht also um die Menge aller Tupel ${}(A,B,C)\in (\mathbb {R} ^{2})^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?

Lösung Dreieck/Vektorraumstruktur/Umfang/Norm/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Fakt ***** gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, so dass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Fakt *****.

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Zeige

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.$

Lösung

Es sei ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=0$. Nach Fakt *****  (3) ist

${}0=\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert \,,$

also ist auch ${}{\hat {\varphi }}(v)=0$ und ${}v\in \operatorname {kern} {\hat {\varphi }}$. Wegen

${}{\hat {\hat {\varphi }}}=\varphi \,$

gilt davon auch die Umkehrung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Lösung

Die beschreibende Matrix ist

${\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom davon ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}&=(X-3){\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-2X^{2}-X-3X^{2}+6X+3-X\\&=X^{3}-5X^{2}+4X+3.\end{aligned}}$

Wir berechnen einige Werte.

${}x$	${}-1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}\chi _{}(x)$	${}-7$	${}3$	${}3$	${}-1$	${}-3$	${}3$

Somit besitzt das Polynom eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}0$, eine Nullstelle zwischen ${}1$ und ${}2$ und eine Nullstelle zwischen ${}3$ und ${}4$. Daher gibt es eine negative Nullstelle und zwei positive Nullstellen und somit ist die normierte Standardgestalt der quadratischen Form gleich ${}U^{2}+V^{2}-W^{2}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung Achsenkreuz/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Formel für die Potenzen

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n-2}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n-1}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n-1}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n-2}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n-2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2^{n-1}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-1}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&{\frac {1}{2^{n-2}}}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&{\frac {n}{2^{n-1}}}&{\frac {\binom {n}{2}}{2^{n-2}}}\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&{\frac {n}{2^{n-1}}}\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2^{n}}}{\begin{pmatrix}1&2n&2n(n-1)\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$