Lösung
- Zwei Vektoren
heißen orthogonal zueinander, wenn
-
![{\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d163722eb309ff72da79d9d555c98bfdafafe1)
ist.
- In einem
Dreieck
in einer
euklidischen Ebene
heißt der Schnittpunkt der
Höhe
durch
mit der Geraden durch
und
der
Höhenfußpunkt
dieser Höhe.
- Eine quadratische
komplexe
Matrix
-
![{\displaystyle {}M=(a_{ij})_{ij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d27508ace638d71535f105f6d60135e01f5a13f)
heißt
hermitesch,
wenn
-
![{\displaystyle {}a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1d87499fa3e409488531edbd097177ca4ac5d9)
für alle
gilt.
- Ein
Endomorphismus
-
heißt
normal,
wenn
und
vertauschbar
sind.
- Eine Äquivalenzrelation
auf einer Menge
ist eine
Relation,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige
).
.
- Aus
folgt
.
- Aus
und
folgt
.
- Eine Teilmenge
eines
Körpers
heißt
Unterkörper
von
, wenn folgende Eigenschaften gelten.
- Es ist
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
, ist auch
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Polarisationsformel
für ein
Skalarprodukt
auf einem reellen Vektorraum.
- Das
Minorenkriterium
für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
- Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
Lösung
- Die Polarisationsformel besagt
-
![{\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f6355969189976503872fb627cc8d672ec1e31)
- Es sei
eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis. Die Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
seien alle von
verschieden für
. Es sei
die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
Dann ist
vom
Typ
.
- Es sei
ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
. Es sei
-
eine
alternierende
multilineare Abbildung
in einen weiteren
-Vektorraum
. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
derart, dass das Diagramm -
kommutiert.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {2u}\Vert ^{2}&=\Vert {(u+v)+(u-v)}\Vert ^{2}\\&=\left\langle (u+v)+(u-v),(u+v)+(u-v)\right\rangle \\&=\left\langle (u+v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u-v)\right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03be4a5fff7342ee3d6136e2af8100bb4ff290c6)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {2v}\Vert ^{2}&=\Vert {(u+v)-(u-v)}\Vert ^{2}\\&=\left\langle (u+v)-(u-v),(u+v)-(u-v)\right\rangle \\&=\left\langle (u+v),(u+v)\right\rangle -\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle -\left\langle (u-v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u-v)\right\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97278bda5c9f7a6a7e69659a7bba1ea226da3bea)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}\Vert {2u}\Vert ^{2}-\Vert {2v}\Vert ^{2}=4\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f45680c9e28817a1055b7c147edda79f757c77)
Also ist
-
![{\displaystyle {}\Vert {u}\Vert =\Vert {v}\Vert \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d76452b6512ebc6da0d47620b85ee705a979da)
genau dann, wenn
-
![{\displaystyle {}\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b555ba6d30787716b6e04116455730e9b98dbf)
ist.
Lösung
Der Abstand der beiden Punkte ist
-
![{\displaystyle {}r={\sqrt {1^{2}+6^{2}}}={\sqrt {37}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b8db3c3c9cc63d16e67c356d6bfb6510294368)
Die Kreisgleichung ist somit
-
In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest
haben
(alle Angaben beziehen sich auf Meter).
Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.
- Zeige, dass man auf einem quadratischen
-Platz
Leute platzieren kann
(Randpunkte sind erlaubt).
- Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem
-Platz kann man höchstens
Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius
, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt
.
Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe
.
Wegen
-
![{\displaystyle {}32\cdot \pi \geq 32\cdot 3,14=100,48>100\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afda41c2878ab9b16d59df682a6c5ebcc770f81)
ist dies nicht möglich.“
- Zeige, dass man auf einem
-Platz definitiv nicht
Leute platzieren kann.
- Zeige, dass man auf einem
-Platz
Leute platzieren kann.
Lösung
- Wir platzieren die Leute auf den Positionen
-
das sind
Leute.
- Für Leute, die am Rand platziert sind, muss nicht der volle Umkreis innerhalb der vorgegebenen Fläche liegen.
- Zu jeder Person gehört ein Umkreis mit Radius
, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt
.
Diese Flächen liegen zwar nicht ganz in der Gesamtfläche der Größe
,
da der Mittelpunkt aber zu der quadratischen
-Fläche gehört, gibt es an den Rändern höchstens einen Überstand von
. D.h. dass diese Kreise ganz in der umgebenden
-Fläche liegt. Wegen
-
![{\displaystyle {}46\cdot \pi \geq 46\cdot 3,14=144,44>144=12^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b74212462d0193b9d967f10890736a143b77b3)
ist dies für
Personen nicht möglich.
- Wir platzieren die Leute auf den Punkten eines Rasters, das aus gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge
aufgebaut ist. Die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreieckes ist nach dem Satz von Pythagoras gleich
. Wegen
-
![{\displaystyle {}36\cdot 3=108<110,25=10,5^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1644751829e7e0c4cdc0d20ed12d6d8b0ccee7c1)
ist
-
![{\displaystyle {}6{\sqrt {3}}\leq 10,5\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25133048ed49d97998f037cb527288840a2f495e)
daher kann man auf dem etwas größeren Rechteck nun sieben Zeilen platzieren
(die erste Zeile sei der untere Rand des Rechtecks).
Auf den Zeilen haben abwechselnd
bzw.
Leute Platz, dies ergibt
Leute.
Es seien
die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich
-
![{\displaystyle {}F={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f3a64d7133980dc69ad6c36bc0283fc2453a31)
ist.
Lösung
Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch
zwischen
und
liegt. Es sei
die Länge dieser Höhe und
der Höhenfußpunkt. Es sei
die Länge von
nach
und
die Länge von
nach
. Nach
dem Satz des Pythagoras
ist
-
![{\displaystyle {}h^{2}+p^{2}=a^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce3ce926b3fe3145b472c89ad3344ec6f639262)
und
-
![{\displaystyle {}h^{2}+(c-p)^{2}=b^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ceeb5e23463ccda7a25f95ebe7668b59b0cc96)
woraus sich
-
![{\displaystyle {}a^{2}-p^{2}=b^{2}-(c-p)^{2}=b^{2}-c^{2}+2cp-p^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f8b002336de98d1617716ba92f43773b802ecd)
also
-
![{\displaystyle {}a^{2}-b^{2}=-c^{2}+2cp\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1846be17a24cb08675e743f75d320df557afc54a)
und
-
![{\displaystyle {}p={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6eefcb06efe54ad1c59566cf60d01db3a920b64)
ergibt. Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-p^{2}\\&=a^{2}-{\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\right)}^{2}\\&={\frac {4a^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\\&={\frac {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab86b6d0a8f3ecfb7ba2dc8730a015f17d52187)
und daher
-
![{\displaystyle {}h={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{2c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a52570c269095133eac06ac9d1891cd16baae49)
und letztlich
-
![{\displaystyle {}F={\frac {1}{2}}ch={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf16d6110a6d1e6140b590e20e105cef05ee966)
Lösung
Es sei
die Gramsche Matrix der Bilinearform zu einer fixierten Basis. Wenn
nicht invertierbar ist, so gibt es einen Vektor
mit
.
Dann ist auch
-
![{\displaystyle {}\left\langle u,v\right\rangle ={u^{\text{tr}}}Gv=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8744f67b8884cdd065a98df5105010601ecde82c)
für alle
und die Form ist ausgeartet. Wenn umgekehrt die Bilinearform ausgeartet ist, so gibt es einen Vektor
mit
-
![{\displaystyle {}\left\langle u,v\right\rangle ={u^{\text{tr}}}Gv=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8744f67b8884cdd065a98df5105010601ecde82c)
für alle
.
Doch daraus folgt wiederum, dass
der Nullvektor ist, also die Gramsche Matrix nicht invertierbar ist.
Lösung
Es sei
der
Ausartungsraum
der Bilinearform und
ein
direktes Komplement,
also
-
![{\displaystyle {}V=A\oplus U\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e0d2257f1a6c24b12bc796214a84ef9e903506)
Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf
nicht ausgeartet. Es sei
eine
Basis
von
und
eine Basis von
. Die Vektoren
können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren
orthogonal
stehen. Wir müssen uns also nur noch um
kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf
haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch
mit
-
![{\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle \neq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab111dca20f9cf033c6b0592ad484dd67a333d58)
Der Orthogonalraum zu
besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension
. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis
mit
-
![{\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41071d99d9bc618ab0bf870d2b435ecb2c2feb0)
Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis
finden mit
-
![{\displaystyle {}\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle v_{1}',\ldots ,v_{i}'\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d926a18b37764f1d9165b7b353d4b605a0c64fd)
für alle
. Dies zeigen wir durch Induktion, seien
schon konstruiert. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}c_{j}:=\left\langle v_{j},v_{i+1}\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66c45587bbde76f7bf1d9d9b4d2023f71177921)
und setzen
-
![{\displaystyle {}v_{i+1}'=v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a67571075a8c4e22f58e6a68376e33683a16fef)
Dann ist für
-
![{\displaystyle {}\left\langle v_{i+1}^{'},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1},v_{k}\right\rangle -{\frac {c_{k}}{\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle }}\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle =0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7630f533c75019d108b42c0e8cbc8ee5265cec)
Berechne
-
in einem vierdimensionalen
Standard-Minkowski-Raum.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\4\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\-5\\7\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle &=-30+5+28+6\\&=9.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456c79c5754d3714a346fd9e92376f41ab9911fe)
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.
Lösung
Wir denken uns den größeren Würfel fest.
Es gibt
Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Seite auszusuchen, die der Boden sein soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch
Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind
Möglichkeiten.
Es gibt
Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Ecke auszusuchen, die mit einer fixierten Ecke der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch
Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind
Möglichkeiten
Es gibt
Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Kante auszusuchen, die mit einer fixierten Kante der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch
Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind
Möglichkeiten
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
Lösung
Aus (1) folgt (2). Es sei
.
Wir können mit einer beliebigen
Norm
auf
und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen
-
![{\displaystyle {}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3686c6d0df4b6b86c64cd48a300ddf06c319dc7)
die Folge
gegen
. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
-
![{\displaystyle {}v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb8cb0075f216f78184c0e20d16c77713e31234)
eine Linearkombination ist, so ist
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d441d87a3ebb1149744880868de8d53d3e1b3d78)
und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen
gegen
folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen
. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können
annehmen: Im reellen Fall kann man von
ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den
. Es sei
ein Eigenwert und
ein Eigenvektor zu
. Da nach Voraussetzung
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64eb12738ad5b69f6cf5fb8c34aab839b6bb546c)
gegen
konvergiert, muss
gegen
konvergieren und daher ist
-
![{\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert <1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f52bbe93dad1a536062487ba00c46fa4bfa0844)
Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir
Lemma 53.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
es ist also
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc879514b7ad2bf4cde36c8bdb29113ddf78640)
wobei
die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils
ist. Die Eigenwerte von
sind
nach Aufgabe 28.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils
, sie seien mit
bezeichnet. Die Summanden sind von der Form
-
zu einem festen
und einem Polynom
. Die Diagonaleinträge von
sind
(nach Diagonalisieren)
von der Form
-
und wegen
konvergiert dies für
gegen
. Daher konvergiert
gegen die Nullabbildung und das gilt
nach Aufgabe 53.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
auch für das Produkt mit der festen Abbildung
. Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Es sei
. Daher ist
-
![{\displaystyle {}d(x,y)<\epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b306c45e9c3e6add855690daf41bc0d94896f6)
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}\delta :=\epsilon -d(x,y)>0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecc906ac9ab8b2d1d925bd4d1536fd3c88f4473)
Für
ist nach der Dreiecksungleichung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z)\\&<d(x,y)+\delta \\&=d(x,y)+\epsilon -d(x,y)\\&=\epsilon ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e118019a6e7b3b252115a73567caec2fe2ab9a69)
also ist
und damit ist
offen.
Lösung
- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&1\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n-1}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n-1}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n-1}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&n{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba6c6bd74ee58511b93f67ef547a8434c2ab250)
- Der Eintrag rechts oben
besitzt den Betrag
und ist daher nicht beschränkt. Deshalb sind die Matrixpotenzen nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent.