Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	3	0	2	8	2	0	3	6	3	0	3	3	43

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

3. Eine hermitesche Matrix.
4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

6. Den durch Körperwechsel ${}K\subseteq L$ aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Lösung

1. Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum

   ${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}v,w\in V$ die Beziehung

   ${}\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$

   gilt.

3. Eine quadratische komplexe Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

   heißt hermitesch, wenn

   ${}a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$

   für alle ${}i,j$ gilt.

4. Man nennt

   ${}M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

   die Quotientenmenge von ${}\sim$.

5. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

   ${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

   gilt.

6. Zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$ und einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man ${}L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Satz über den Abstand eines Vektors ${}v$ zu einem Untervektorraum ${}U$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.
3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Lösung

1. In einem Dreieck ${}(A,B,C)$ mit den Seitenlängen ${}a,b,c$ und dem Winkel ${}\gamma$ an ${}C$ gilt

   ${}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.$

2. Die orthogonale Projektion ${}p_{U}(v)$ ist derjenige Punkt auf ${}U$, der unter allen Punkten auf ${}U$ zu ${}v$ den minimalen Abstand besitzt.
3. Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension ${}n$. Dann entsprechen durch die Zuordnung

   $[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$

   die Orientierungen

   auf ${}V$ den Orientierungen auf ${}\bigwedge ^{n}V$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse ${}E$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}\varphi (E)=E$, die keine Isometrie ist.

Lösung

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}2x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=1\,$

gegebene Ellipse und die durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,$

gegebene bijektive lineare Abbildung ${}\varphi$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es ist also

${}\varphi {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}y\\2x\end{pmatrix}}\,.$

Wenn ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt

${}2{\left({\frac {1}{2}}y\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}{\left(2x\right)}^{2}={\frac {1}{2}}y^{2}+2x^{2}=1\,,$

d.h. er liegt ebenfalls auf der Ellipse. Die Ellipse wird also unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist keine Isometrie, da der erste Standardvektor auf den Vektor ${}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$ abgebildet wird, der die Norm ${}2$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.

Lösung

Es sei

${}u={\overrightarrow {CB}}\,$

und

${}v={\overrightarrow {CA}}\,.$

Dann ist

${}w={\overrightarrow {AB}}=u-v\,.$

Die Längen dieser Vektoren sind ${}a,b,c$. Somit gilt

${}{\begin{aligned}c^{2}&=\Vert {u-v}\Vert ^{2}\\&=\left\langle u-v,u-v\right\rangle \\&=\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle u,v\right\rangle \\&=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}-2\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \cos \gamma \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Lösung

Da beide Abbildungen mit der Addition verträglich sind, gilt dies auch für die Verknüpfung. Für einen Vektor ${}v\in V$ und einen Skalar ${}s\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}(\varphi \circ \psi )(sv)=\varphi (\psi (sv))=\varphi ({\overline {s}}\psi (v))={\overline {\overline {s}}}\varphi (\psi (v))=s(\varphi \circ \psi )(v)\,,$

also ist ${}\varphi \circ \psi$ linear.

Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien ${}U$ und ${}V$ endlichdimensionale ${}\mathbb {R}$- Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen ${}\Psi _{U}$ und ${}\Psi _{V}$.

1. Zeige, dass auf ${}U\oplus V$ durch

   ${}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\,$

   eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei ${}U$ und ${}V$ orthogonal zueinander sind.

2. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{U}$ bezüglich einer Basis von ${}U$ und ${}H$ die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{V}$ bezüglich einer Basis von ${}V$. Zeige, dass die Blockmatrix aus ${}G$ und ${}H$ die Gramsche Matrix von ${}\Theta$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
3. Der Typ der Bilinearformen sei ${}(p,q)$ bzw. ${}(p',q')$. Zeige, dass der Typ von ${}\Theta$ gleich ${}(p+p',q+q')$ ist.

Lösung

1. Wegen

   ${}{\begin{aligned}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))&=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\\&=\Psi _{U}(u_{2},u_{1})+\Phi _{V}(v_{2},v_{1})\\&=\Theta ((u_{2},v_{2}),(u_{1},v_{1}))\end{aligned}}$

   ist die Abbildung symmetrisch. Daher genügt es, die Linearität in der ersten Komponente zu zeigen. Diese ergibt sich aus

   ${}{\begin{aligned}\Theta (a(u_{1},v_{1})+b(u_{2},v_{2}),(u_{3},v_{3}))&=\Theta ((au_{1}+bu_{2},au_{2}+bv_{2}),(u_{3},v_{3}))\\&=\Psi _{U}(au_{1}+bu_{2},u_{3})+\Phi _{V}(au_{2}+bv_{2},v_{3})\\&=a\Psi _{U}(u_{1},u_{3})+b\Psi _{U}(u_{2},u_{3})+a\Psi _{V}(v_{1},v_{3})+b\Psi _{V}(v_{2},v_{3})\\&=a(\Psi _{U}(u_{1},u_{3})+\Psi _{V}(v_{1},v_{3}))+b(\Psi _{U}(u_{2},u_{3})+\Psi _{V}(v_{2},v_{3}))\\&=a\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{3},v_{3}))+b\Theta ((u_{2},v_{2}),(u_{3},v_{3})).\end{aligned}}$

   Die Orthogonalität ergibt sich aus

   ${}\Theta ((u,0),(0,v))=\Psi _{U}(u,0)+\Psi _{V}(0,v)=0+0=0\,.$

2. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Basen und entsprechend ${}(u_{i},0),(0,v_{k})$ die zusammengesetzte Basis von ${}U\oplus V$. Die Einträge der Gramschen Matrix von ${}\Theta$ sind

   ${}\Theta ((u_{i},0),(u_{j},0))=\Psi _{U}(u_{i},u_{j})+\Psi _{V}(0,0)=\Psi _{U}(u_{i},u_{j})\,,$

   ${}\Theta ((0,v_{k}),(0,v_{\ell }))=\Psi _{U}(0,0)+\Psi _{V}(v_{k},v_{\ell })=\Psi _{V}(v_{k},v_{\ell })\,,$

   ${}\Theta ((u_{i},0),(0,v_{k}))=\Psi _{U}(u_{i},0)+\Psi _{V}(0,v_{k})=0\,,$

   so dass die Blockgestalt aus den einzelnen Gramschen Matrizen vorliegt.

3. Wir ziehen den Sylvesterschen Trägheitssatz heran. Es seien beide Basen Orthogonalbasen, die zusammengesetzte Basis ist dann ebenfalls eine Orthogonalbasis. Im ersten Block stehen dann in der Diagonale ${}p$ Einsen, ${}q$ Minuseinsen und ${}m-p-q$ Nullen und im zweiten Block stehen in der Diagonale ${}p'$ Einsen, ${}q'$ Minuseinsen und ${}n-p'-q'$ Nullen. Insgesamt stehen dort also ${}p+p'$ Einsen und ${}q+q'$ Minuseinsen.

Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}{\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ aus Eigenvektoren gibt.

Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}2-3i&4+5i\\11-3i&6+9i\end{pmatrix}}\,.$

Die adjungierte Abbildung wird durch

${}N={{\overline {M}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}2+3i&11+3i\\4-5i&6-9i\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Wegen

${}(2-3i)(2+3i)+(4+5i)(4-5i)=(2-3i)(2+3i)+41\,$

und

${}(2-3i)(2+3i)+(11+3i)(11-3i)=(2-3i)(2+3i)+130\,$

ist

${}M\circ N\neq N\circ M\,.$

Der Endomorphismus ist also nicht normal und daher gibt es nach Fakt ***** keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element, und seien ${}m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${}g^{0}=e_{G}$.
2. Es ist ${}g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.

Lösung

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen ${}\geq 0$ oder beide ${}\leq 0$ sind. Es sei also ${}m$ positiv und ${}n$ negativ. Bei ${}m\geq -n$ kann man in ${}g^{m}g^{n}$ „innen“ ${}-n$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ zu ${}e_{G}$ kürzen, und übrig bleibt die ${}m-(-n)=(m+n)$-te Potenz von ${}g$, also ${}g^{m+n}$. Bei ${}m<-n$ kann man ${}m$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ kürzen und übrig bleibt die ${}-n-m=-(m+n)$- te Potenz von ${}g^{-1}$. Das ist wieder ${}g^{m+n}$.

Aufgabe (6 (2+1+1+2) Punkte)

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${}A$ und ${}G$, die den Eckpunkt ${}B$ auf ${}D$ schickt, und es sei ${}\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}E,F,G,H$ läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch ${}\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und ${}\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${}\alpha \beta$ und von ${}\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${}\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${}\alpha ^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation ${}\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\sigma (x)$	${}B$	${}C$	${}D$	${}A$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${}\sigma$.

Lösung

a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\alpha (x)$	${}A$	${}D$	${}H$	${}E$	${}B$	${}C$	${}G$	${}F$

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\beta (x)$	${}C$	${}D$	${}A$	${}B$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\alpha \beta (x)$	${}H$	${}E$	${}A$	${}D$	${}G$	${}F$	${}B$	${}C$

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\beta \alpha (x)$	${}C$	${}B$	${}F$	${}G$	${}D$	${}A$	${}E$	${}H$

b) Die Drehachse von ${}\alpha \beta$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte ${}D$ und ${}F$ und die Drehachse von ${}\beta \alpha$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte ${}B$ und ${}H$. Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3.

c) Aus der Wertetabelle für ${}\alpha$ kann man leicht diejenige für ${}\alpha ^{2}$ errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist

$\langle B,E,D\rangle \langle C,F,H\rangle .$

Die Ordnung von ${}\alpha$ ist 3, daher ist ${}\alpha ^{1001}=\alpha ^{2}$.

d) ${}\sigma$ stimmt auf den unteren Eckpunkten ${}E,F,G,H$ mit der durch ${}\beta$ definierten Permutation überein. Würde ${}\sigma$ von einer Würfelbewegung ${}\gamma$ herrühren, so wäre ${}\beta \gamma ^{-1}$ die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre ${}\beta =\gamma$, was aber wegen

${}\beta (A)=C\neq B=\gamma (A)\,$

nicht der Fall ist.

${}\sigma$ hat die Zykeldarstelung

$\sigma =\langle A,B,C,D\rangle \langle E,G\rangle \langle H,F\rangle ,$

die wir als Produktdarstellung lesen. Der vordere Zykel ist als Produkt geschrieben

$\langle A,B,C,D\rangle =\langle B,C\rangle \langle C,D\rangle \langle D,A\rangle .$

Insgesamt ist ${}\sigma$ das Produkt von ${}5$ Transpositionen und daher ist das Signum ${}-1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum ${}\operatorname {Hom} _{}{\left(V,W\right)}$ in der Tat eine Norm ist.

Lösung Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Ist Norm/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ${}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}$ ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.

Lösung

Wegen

${}{\begin{pmatrix}p_{1}&p_{1}&\ldots &p_{1}\\p_{2}&p_{2}&\ldots &p_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n}&p_{n}&\ldots &p_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\\p_{2}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\\\vdots \\p_{n}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\,$

ist ${}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}$ die Eigenverteilung dieser Matrix.

Der Kern besitzt die Dimension ${}n-1$ und wird durch die linear unabhängigen Vektoren ${}e_{1}-e_{2},e_{1}-e_{3},\ldots ,e_{1}-e_{n}$ erzeugt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und es seien

$U_{1,1}\subset U_{1,2}\subset \ldots \subset U_{1,\operatorname {dim} _{}\left(V_{1}\right)}\subset V_{1},\ldots ,U_{n,1}\subset U_{n,2}\subset \ldots \subset U_{n,\operatorname {dim} _{}\left(V_{n}\right)}\subset V_{n}$

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

$U_{1,j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n,j_{n}}$

haben.

Lösung

Wir betrachten einen zweidimensionalen Vektorraum ${}V$ und das Tensorprodukt ${}V\otimes _{K}V$. Untervektorräume der Form ${}U\otimes _{K}W$ haben die Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\cdot \operatorname {dim} _{}\left(W\right)$, da sind also nur die Dimensionen ${}0,1,2,4$ möglich. In einer Fahne muss aber zu jeder Dimension ein Untervektorraum auftreten, also auch einer mit der Dimension ${}3$.