Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 21
- Die Pausenaufgabe
Überprüfe, ob der Vektor ein Eigenvektor zur Matrix
ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.
- Übungsaufgaben
Es seien
Endomorphismen auf einem - Vektorraum und es sei ein Eigenvektor von und von . Zeige, dass auch ein Eigenvektor von ist. Was ist der Eigenwert?
Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung
die durch eine Matrix der Form gegeben ist.
Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?
Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
derart, dass keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz , , Eigenwerte besitzt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Es sei und sei
der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich zu einer linearen Abbildung
einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ist.
Es sei ein Isomorphismus auf einem - Vektorraum mit der Umkehrabbildung . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn ein Eigenwert von ist.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von ist.
Es seien Vektorräume über dem Körper und
lineare Abbildungen. Es sei ein Eigenwert zu für ein bestimmtes . Zeige, dass auch ein Eigenwert zur Produktabbildung
ist.
Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu einer durch eine Matrix der Form gegebenen linearen Abbildung
ist, wenn eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.
Es sei der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von nach besteht.
a) Zeige, dass die Ableitung eine lineare Abbildung von nach ist.
b) Bestimme die
Eigenwerte
der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen
Eigenvektor.[1]
c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die
Eigenräume
und deren
Dimension.
Es sei
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Es sei
die
duale Abbildung
zu . Wir betrachten Basen von der Form mit der Dualbasis . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.
a) ist Eigenvektor von zum Eigenwert unabhängig von .
b) ist Eigenvektor von zum Eigenwert bezüglich einer Basis , aber nicht bezüglich einer Basis .
c) ist bezüglich keiner Basis ein Eigenvektor von .
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und , , ein fixierter Vektor. Zeige, dass
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.
Es sei ein Körper, und ein von verschiedener Vektor. Erstelle ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge genau diejenigen - Matrizen sind, für die ein Eigenvektor zum Eigenwert ist. Was ist das Besondere an diesem Gleichungssystem und welche Dimension hat die Lösungsmenge?
Man verallgemeinere die vorstehende Aufgabe für eine Körpererweiterung .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte die Matrix
Zeige, dass als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von als komplexer Matrix.
Aufgabe (6 Punkte)
Betrachte die reellen Matrizen
Man charakterisiere in Abhängigkeit von , wann eine solche Matrix
- zwei verschiedene Eigenwerte,
- einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
- einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
- keinen Eigenwert,
besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung mit
für ein gewisses .[2] Zeige, dass jeder Eigenwert von die Eigenschaft besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis von eine Basis gibt mit und mit
für alle .
Zeige ebenso, dass dies bei nicht möglich ist.
- Fußnoten
- ↑ In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.
- ↑ Der Wert ist hier erlaubt, aber aussagelos.
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