Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

1. Eine Amöbe.
2. Eine Ameise.
3. Eine Meise.
4. Eine Flunder.
5. Eine Boa constrictor.
6. Ein Meerschweinchen.
7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
8. Ein sehr guter Limbotänzer.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und Koeffizienten ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ die Beziehung

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$. Zeige ${}\varphi (0)=0$.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$. Es sei ${}v\in V$. Zeige ${}\varphi (-v)=-\varphi (v)$.

Aufgabe

Eine Unze Gold kostet ${}1100$ €.

a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold?

b) Wie viel Gold bekommt man für ${}10000$ €?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt mit ihrem Fahrrad 10 Meter pro Sekunde.

a) Wie viele Kilometer fährt sie pro Stunde?

b) Wie lange braucht sie für 100 Kilometer?

Aufgabe

Fünf Spaziergänger laufen eine Strecke in 35 Minuten ab. Am nächsten Tag laufen 7 Spaziergänger die gleiche Strecke in gleichem Tempo. Wie lange brauchen sie?

Aufgabe

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
2. Masse ist Volumen mal Dichte.
3. Energie ist Masse mal Brennwert.
4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
5. Energie ist Kraft mal Weg.
6. Energie ist Leistung mal Zeit.
7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.

Aufgabe

Es sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$ eine ${}m\times n$- Matrix über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die zugehörige Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K^{m},\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}s_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}s_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}s_{j}\end{pmatrix}},$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass zu ${}v\in V$ die Abbildung

$K\longrightarrow V,\,\lambda \longmapsto \lambda v,$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass zu ${}a\in K$ die Abbildung

$V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

linear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit

$\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}=5{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}=4$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}7\\6\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$

Die folgende Aufgabe knüpft an die Aufgaben zum Vier-Zahlen-Problem vom Arbeitsblatt 2 an.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {R} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass

${}a\leq b\leq c\leq d\,$

gilt, mit einer Matrix.

Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$

${}\mathbb {R}$-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation ${}\mathbb {R}$-linear, aber nicht ${}{\mathbb {C} }$-linear ist. Ist der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

${}\mathbb {R}$-linear?

Aufgabe *

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

$K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Satz 10.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass für die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ${}\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.
2. ${}\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.
3. ${}\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ und ${}\psi \colon U\rightarrow W$ lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

$U\longrightarrow V\times W,\,u\longmapsto \varphi (u)\times \psi (u)$

in den Produktraum ${}V\times W$ eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ seien ${}K$- Vektorräume ${}V_{i}$ und ${}W_{i}$ sowie lineare Abbildungen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung

$\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W_{1}\times W_{2}\times \cdots \times W_{n},\,\left(v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\longmapsto \left(\varphi _{1}(v_{1}),\,\varphi _{2}(v_{2}),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(v_{n})\right),$

eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$ und es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}W$.

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$ für alle ${}i$ geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$ für alle ${}i$ gibt.

Aufgabe

Beweise Lemma 10.14.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die eine rationale Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ auf ${}q$ schickt und die alle irrationalen Zahlen auf ${}0$ schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}S$ und ${}T$ Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung

$\psi \colon S\longrightarrow T$

eine lineare Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(T,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(S,K\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \psi ,$

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}S$ und ${}T$ Mengen. Es sei

$\psi \colon S\longrightarrow T$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass durch ${}e_{s}\mapsto e_{\psi (s)}$ eine lineare Abbildung

$K^{(S)}\longrightarrow K^{(T)}$

festgelegt ist.

b) Es habe nun ${}\psi$ zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung

$K^{(T)}\longrightarrow K^{(S)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \psi ,$

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}I$ eine Indexmenge mit einer Zerlegung

${}I=I_{1}\uplus I_{2}\,.$

Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(I_{1},K\right)}\oplus \operatorname {Abb} \,{\left(I_{2},K\right)}\,$

vorliegt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Addition

$+\colon \mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

eine lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?

Aufgabe (3 Punkte)

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um ${}30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes ${}V\times W$ ist.

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ ${}\mathbb {Q}$- Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ bereits ${}\mathbb {Q}$- linear ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der gleichen Dimension. Zeige, dass es einen ${}K$- Automorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi (U_{1})=U_{2}\,$

gibt.