Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen ${}v,u$ und ${}v,w$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$, dass die Koordinatenfunktion ${}v^{*}$ von der Basis und nicht nur von ${}v$ abhängt.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

${}U=\langle {\begin{pmatrix}4\\6\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-3\\8\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Finde eine Linearform ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}U=\operatorname {kern} f$.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x+7y-3z+6u+5v=0\,.$

Aufgabe

Zeige, dass durch Realteil und Imaginärteil reelle Linearformen auf ${}{\mathbb {C} }$ definiert sind, wobei ${}{\mathbb {C} }$ als reeller Vektorraum betrachtet wird.

Ist der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Linearform?

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}U=\operatorname {kern} f$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}v\in V$ mit ${}v\notin U$. Zeige, dass es eine Linearform ${}\varphi \colon V\rightarrow K$ mit ${}\varphi (U)=0$ und ${}\varphi (v)=1$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zu jedem ${}k$ gebe es eine Linearform

$\varphi _{k}\colon V\longrightarrow K$

mit

$\varphi _{k}(v_{k})\neq 0{\text{ und }}\varphi _{k}(v_{i})=0{\text{ für }}i\neq k.$

Zeige, dass die ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es seien ${}L,L_{1},\ldots ,L_{m}$ Linearformen auf ${}V$. Zeige, dass die Beziehung

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}\subseteq \operatorname {kern} L\,$

genau dann gilt, wenn ${}L$ zu dem von den ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.

Aufgabe *

Drücke die Vektoren ${}u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ der Dualbasis zur Basis ${}u_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ aus.

Aufgabe

Drücke die Vektoren ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ der Standarddualbasis als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis ${}u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ zur Basis ${}u_{1}={\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\,,u_{2}={\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}$ aus.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$. Zeige, dass

$v_{i}^{*}w_{j},i=1,\ldots ,n,j=1,\ldots ,m,$

eine Basis des Homomorphismenraumes ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

nicht linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times m$-Matrix über ${}K$. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Definition 14.16 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Zuordnung

$\operatorname {End} _{}^{}{\left(V\right)}\longrightarrow K,\,\varphi \longmapsto \operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)},$

${}K$- linear ist.

Aufgabe

Bestimme die Spur zu einer linearen Projektion

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}U=\langle {\begin{pmatrix}9\\2\\-9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}13\\23\\33\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Finde eine Linearform ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}U=\operatorname {kern} f$.

Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a,b,c\in K$.

1) Zeige, dass die Vektoren

${}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\c\\-b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}\in K^{3}\,$

Lösungen zur linearen Gleichung

${}ax+by+cz=0\,$

sind.

2) Zeige, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind.

3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?

4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?

Aufgabe (3 Punkte)

Drücke die Vektoren ${}u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ der Dualbasis zur Basis ${}u_{1}={\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ aus.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke die Vektoren ${}u_{1}^{*},u_{2}^{*},u_{3}^{*}$ der Dualbasis zur Basis ${}u_{1}={\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}5\\3\\2\end{pmatrix}},\,u_{3}={\begin{pmatrix}0\\-1\\7\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*},e_{3}^{*}$ aus.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V=\operatorname {Mat} _{n}(K)$ der Raum der ${}n\times n$- Matrizen über dem Körper ${}K$ mit der Standardbasis ${}e_{ij}$. Beschreibe die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis ${}e_{ij}^{*}$.