Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 56/kontrolle
- Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.
mit einer konstanten Matrix
Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.
Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem
vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert .
Dann ist die Abbildung
() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.
Dies folgt direkt aus
Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei eine invertierbare Matrix und es sei
Dann ist
genau dann eine Lösung von , wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Es sei vorausgesetzt, dass
ist. Dann gelten für mit die Gleichungen
sodass die Differentialgleichung
löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von die Abbildung eine Lösung für ist.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine invertierbare Matrix derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
(mit ) ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen für gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
Aufgrund von Korollar 55.11 ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix derart, dass
obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Lemma 56.2 äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also
ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind . Die zweitletzte Zeile ist
worin man die Lösung für einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen , die man mit dem angegebenen
Lösungsverfahren
lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann
und
schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für . So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung .
Eine Anfangsbedingung für
übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für
.
In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung , .
Dann gibt es genau eine auf definierte Lösung
für dieses Anfangswertproblem.
Aufgrund von Satz 56.3 gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung
für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also
ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss sein.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann ist die Menge der Lösungen
ein - dimensionaler - Vektorraum.
Dass der Lösungsraum ein -Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Satz 56.3 bzw. Satz 56.4 gibt es zu jedem Vektor genau eine Lösung
mit
Die Zuordnung, die eine Lösung der Differentialgleichung auf den Ortspunkt abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und vorliegt.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren .
Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
wobei der Eigenwert zu ist.
Dies folgt direkt aus Lemma 56.1 und aus Korollar 56.5.
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
Für
(also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente) ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort , was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)
zum Eigenvektor gemäß Lemma 56.1 entspricht.
Es sei nun . Dann führt die zweite Zeile zu , was wir Satz 56.3 entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit
Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist , sodass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz mit
ergibt.
Bei ergibt sich und damit die zweite Fundamentallösung
Bei gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.
Bei ergibt sich und damit die zweite Fundamentallösung
Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.
Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir und , zum Zeitpunkt soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit besitzen. Man kann sofort die Lösung
angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem
Das charakteristische Polynom ist
und Eigenvektoren sind (zum Eigenwert ) und (zum Eigenwert ). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Korollar 56.7 gleich
wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu
Also ist und . Daher ist die Lösung
nach Satz 25.11.
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