Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/1/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 5 | 3 | 4 | 7 | 4 | 2 | 3 | 5 | 2 | 4 | 4 | 3 | 4 | 1 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Die Menge
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
- Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
- Die
Reihe
heißt die geometrische Reihe in .
- Der
Logarithmus zur Basis
,
,
von
ist durch
definiert.
- Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
- Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
Aufgabe (3 Punkte)
- Für jede natürliche Zahl
sei eine Aussage gegeben. Es gelte
- ist wahr.
- Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
- Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
ist
- Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung
gilt.
Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus
wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.
Aufgabe (2 Punkte)
Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.
Wer fährt schneller?
Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ist dies (in Zentimetern)
für Fahrer , der Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies
Der Quotient ist
Also fährt schneller als .
Aufgabe (2 (0.5+1+0.5) Punkte)
a) Berechne
b) Bestimme das inverse Element zu
c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?
a) Es ist
b) Das inverse Element zu ist , also ist
c) Der Abstand von zum Nullpunkt ist , daher ist der Abstand von zum Nullpunkt gleich .
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.
Es ist
Bei ist somit
und bei ist
Daher ist stets
Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen und derart, dass
für und
für gilt. Für gilt daher
Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .
Aufgabe (3 Punkte)
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Die Formel für lautet
Daher ist
Somit ist
Schließlich ist
Aufgabe (4 Punkte)
Untersuche, ob die Reihe
konvergiert oder divergiert.
Für ist
und für ist
Daher gilt für die Reihenglieder für die Abschätzung
Die Reihe konvergiert nach [[Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel/Beispielreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] und dies gilt auch für . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch
und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung
gilt. Nach der Wahl von ist dann
sodass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist
Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme die Ableitung .
b) Bestimme die zweite Ableitung .
a) Es ist
b) Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Eine lineare Funktion wird durch mit beschrieben. Eine lineare Funktion, die im Punkt tangential zu ist, muss und erfüllen. Daraus ergibt sich die Bedingung
bzw.
Also ist oder . Daher gibt es zwei Tangenten an , die lineare Funktionen sind, nämlich und .
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.
Die Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle gleich . Daher ist die Umkehrfunktion für differenzierbar. Daher ist auch als Hintereinanderschaltung von und dieser Funktion für differenzierbar.
Für betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für den Ausdruck
Wir betrachten positive und können den Nenner als
schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich
Für steht hier und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist in nicht differenzierbar.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Eine Stammfunktion ist
Aufgabe (4 Punkte)
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung
Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
und die dritte Gleichung durch
Wir wählen , sodass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und
ist ein Basisvektor von .
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
(und wie viele Nichtleser gibt es noch)
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist
c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist
genau dann, wenn die lineare Abbildung
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt ***** und Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))). Dies ist nach Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) äquivalent zu
was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Eigenvektoren der Funktion , .
Jede reelle Zahl ist ein Eigenvektor zum Eigenwert .