Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/22/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 3 | 4 | 5 | 3 | 3 | 4 | 2 | 3 | 3 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Durchschnitt von Mengen und .
- Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
- Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
- Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
- Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
- Eine Linearkombination in einem - Vektorraum.
- Die Menge
heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
- Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung
gilt.
- Der
Logarithmus zur Basis
,
,
von
ist durch
definiert.
- Zu
, ,
heißt die Zahl
der Differenzenquotient von zu und .
- Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu über heißt bestimmtes Integral.
- Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor
eine Linearkombination dieser Vektoren
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
- Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
- Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
- Es sei ein Intervall und
eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
- Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es sei ein Körper und es seien
und
Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei
Aufgabe (2 Punkte)
Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.
Man möchte eine Aussage beweisen. Man nimmt an, dass nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann nicht gelten und also muss gelten.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?
Es gilt generell die Zerlegung
Bei sind beide Faktoren und daher kann nicht prim sein. Bei ist
eine Primzahl. Bei liegt keine Primzahl vor.
Aufgabe (3 Punkte)
Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
Heidi muss pro Tag mal Gramm Heidelbeeren essen, also Kilogramm. Wegen sind das Heidelbeeren pro Tag. Die Stunden haben Sekunden. Es ist . Sie muss also alle Sekunden eine Heidelbeere essen.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise durch Induktion, dass für die Abschätzung
gilt.
Induktionsanfang für . Es ist
Zum Induktionsschluss sei . Dann ist
Andererseits ist nach der binomischen Formel
Wir müssen
nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils , mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus (da ), aus , da ja ist, aus und aus .
Aufgabe (4 Punkte)
Man finde ein Polynom von minimalem Grad mit
Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad geben, wir können also den Ansatz
machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem
ergibt
und ergibt
bzw.
Daraus folgt und und damit auch . Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle positive reelle Zahlen sind. Es ist
Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.
Es sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Es sei nun Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl Im ersten Fall gilt
im zweiten Fall gilt
sodass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.
Aufgabe (3 Punkte)
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
Für und ist , es kann also allenfalls in eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt
An den beiden Nullstellen und sind die Werte
und
Also ist das Minimum von größer als und es gibt keine Lösung.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine Funktion, die die Funktionalgleichung
für alle erfülle und die in differenzierbar sei. Zeige, dass dann in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung mit einem festen gilt.
Bei ist , sodass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ) erfüllt. Es sei also . Dann ist wegen . Der Differenzenquotient ist
Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für gegen . Also konvergiert der Differenzenquotient gegen und die Ableitungseigenschaft ist mit erfüllt.
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein mit für alle . Es sei eine Folge mit , die gegen („von unten“) konvergiere. Dann ist und und somit ist der Differenzenquotient
was sich dann nach Lemma 7.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist . Für eine Folge mit gilt andererseits
Daher ist auch und somit ist insgesamt .
Aufgabe (3 Punkte)
Nach der Quotientenregel ist
und
Es ist
und
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
Ableiten unter Verwendung von Lemma 14.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Satz 14.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ergibt
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .
Es ist
Der Durchschnittswert ist also
Das arithmetische Mittel von und ist , die Wurzel davon ist . Wegen
ist
Die Quadratwurzeln von bzw. sind bzw. und das arithmetische Mittel davon ist . Wegen
ist dies kleiner als . Insgesamt gilt also
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass
gilt.
Lösung Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei
ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
ist.
Lösung Lineares Gleichungssystem/n Variablen/Lösungsraum ist (a 1,...,a n)/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.
Es seien und die beschreibenden Matrizen von bezüglich zweier Basen. Dann besteht zwischen ihnen die Beziehung
mit der invertierbaren Basiswechselmatrix . Es besteht die Beziehung
da die Streckungsmatrizen mit jeder Matrix vertauschbar sind. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatz gilt daher