Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/27/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | 4 | 1 | 3 | 4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | 5 | 5 | 4 | 2 | 4 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Teilmenge einer Menge .
- Der Betrag einer komplexen Zahl .
- Eine reelle Potenzreihe.
- Die
Stetigkeit
einer Funktion
in einem Punkt .
- Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion
in einem Punkt .
- Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
- Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
- Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch
definiert.
- Es sei eine Folge von
reellen Zahlen
und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die
Reihe
die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .
- Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
- Das Polynom
heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .
- Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
- Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
- Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten - Vektorraum .
- Es sei eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
- Satzantwort
Für einen beliebigen Punkt
ist die Integralfunktion
differenzierbar und es gilt
für alle
. - Unter den gegebenen Bedingungen besitzt eine endliche Basis.
Aufgabe (2 Punkte)
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise durch Induktion die folgende Formel für .
Beim Induktionsanfang ist , daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der , und daher ist die Summe . Die rechte Seite ist , sodass die Formel für stimmt.
Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für gilt. Dabei ist beliebig. Es ist
Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für , also ist die Formel bewiesen.
Aufgabe (2 Punkte)
Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm Quadratzentimeter einnimmt.
- Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
- Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?
Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist , der umgekehrte Faktor ist .
- Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist
Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich in Meter, also Nanometer.
- Der Flächeninhalt im Mikroskop ist
Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich
Quadratmeter.
Aufgabe (4 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Es ist
Ferner ist
und
Somit ist
Aufgabe (1 Punkt)
Negiere die Aussage, dass eine Folge in gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.
Es gibt ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein
derart gibt, dass
ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Eine reelle Folge sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
Bei ist die Folge konstant gleich . Diese Folge konvergiert gegen . Für jeden anderen Startwert konvergiert die Folge nicht. Wegen
wechseln sich in der Folge und ab, sodass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Wir setzen
Da ist, ist auch
und damit ist
Wir setzen sodann
sodass die geforderte Gleichheit
gilt. Wegen ist
also ist auch
Aufgabe (2 Punkte)
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.
Aufgrund von Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist
b) Wir berechnen zuerst . Es ist
Die Ableitung ist daher
Andererseits ist
und daher nach Teil a)
Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
- Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
- Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
- Bestimme das Bild von .
- Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
- Skizziere den Funktionsgraphen von .
a) Die Ableitung von ist
Dies ist stets positiv, sodass die Funktion auf den beiden Teilintervallen und jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem stets größer als die Werte zu positivem sind.
b) Für ist , da der Exponent positiv ist. Für ist , da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.
c) Für negatives durchläuft sämtliche positiven Zahlen, sodass das offene Intervall durchläuft. Für positives durchläuft sämtliche negativen Zahlen, sodass das offene Intervall durchläuft. Das Bild ist also .
d) Aus folgt durch Äquivalenzumformungen und damit , die Umkehrabbildung ist also
e)
Aufgabe (2 Punkte)
Die Ableitung von ist
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
ein normiertes Polynom vom Grad und die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von und von maximal zwei Schnittpunkte besitzen.
Wir betrachten
Die Schnittpunkte der Graphen von und sind die Nullstellen von . Wir zeigen also, dass maximal zwei Nullstellen besitzt. Es ist
und
Da der Sinus Werte zwischen und besitzt, ist
und überall positiv. Daher ist streng wachsend. Insbesondere besitzt höchstens eine Nullstelle (da die Ableitung davon größergleich ist, gibt es genau eine Nullstelle) und somit ist auf einem linksseitig offenen Intervall negativ und rechtsseitig davon positiv. Dies bedeutet für selbst, dass unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend ist. In beiden Bereichen kann es nur eine Nullstelle geben.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine stetige Funktion. Es sei und es sei
die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.
Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist
Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit
und damit ist
Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .
Aufgabe (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf
Mit ergibt sich
und
Rückwärts gelesen ergibt sich
und
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller - Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.
Zu zwei Diagonalmatrizen
und Skalare ist auch
ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen , , deren -ter Diagonaleintrag eine ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine Basis des Raumes der Diagonalmatrizen. Daher ist die Dimension gleich .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
angenommen. Dann gibt es einen Vektor mit
Wir ergänzen zu einer Basis
von . Es sei die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch und für festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ist , da ja das Bild gerade ist, und es ist
also ist
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
Es sei . Dann ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau bei der Fall, was man als schreiben kann.