Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 9 | 5 | 6 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 65 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Betrag einer reellen Zahl.
- Der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
- Die reelle Exponentialfunktion.
- Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
- Die Matrizenmultiplikation.
- Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
- Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
- Zu einer komplexen Zahl nennt man den Imaginärteil von .
- Die
Funktion
heißt (reelle) Exponentialfunktion.
- Eine Funktion heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
- Es sei ein
Körper und es sei eine
-
Matrix
und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
- Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei für alle möglich ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
- Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
- Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.
- Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
- Es seien
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt
- Sei ein reelles Intervall und sei
Aufgabe (2 Punkte)
Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn für jedes die Gleichheit gilt. Es sei also . Dann ist
Aufgabe (9 (2+1+2+2+2) Punkte)
Zwei Schwimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .
- Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
- Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
- Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
- Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
- Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?
-
- Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er ist also Meter hin und Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich Meter vom Start entfernt. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er befindet sich also Meter vom Start entfernt.
- Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer das erste Mal zurückschwimmt und noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz
Dies führt auf
also
- Nach Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), hat dabei Meter zurückgelegt, nur Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss noch Meter schwimmen, wobei er noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf Begegnungen.
- Schwimmer überrundet Schwimmer dreimal, nämlich am Startpunkt nach , nach und nach .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Körper und ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen man (ausgehend von und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.
Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann.
Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur erhalten.
Mit zwei Multiplikationen kann man
und
erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden.
Mit drei Multiplikationen kann man
erhalten. kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in (dem einzigen ernsthaften Kandidat) schon vier Multiplikationen drin sind.
Mit vier Multiplikationen kann man
und
erhalten. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Wenn nämlich nicht als Faktor vorkommt, so gibt es von den noch nicht abgedeckten Potenzen nur , doch dieser Aufbau braucht fünf Multiplikationen.
Aufgabe (6 (2+4) Punkte)
Zeige, dass in die folgenden Eigenschaften gelten.
- Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
- Zu zwei reellen Zahlen
gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit
(1). Es ist eine wohldefinierte, nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (6) äquivalent zu
(2). Wegen ist und daher gibt es nach (2) ein mit . Wegen (1) gibt es auch ein mit . Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein mit . Nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (3) gilt daher . Daher gibt es auch ein derart, dass
ist. Damit ist einerseits und andererseits
wie gewünscht.
Aufgabe (3 Punkte)
Mit dem Ansatz
gelangen wir zum linearen Gleichungssystem
Die Gleichungen und sind
und
Daraus ergibt sich ()
also
Daraus ergibt sich
und
Es ist also
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Cauchy-Folge in , die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein derart gibt, dass entweder alle , , positiv oder negativ sind.
Da keine Nullfolge ist, gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt. Es sei nun so gewählt, dass ist.
Bei gilt für alle die Abschätzung
sodass für alle Folgenglieder positiv sind.
Bei gilt für alle die Abschätzung
sodass für alle Folgenglieder negativ sind.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
Für jedes und jedes gilt die Beziehung
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )
Für und konvergiert dies wegen Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Aufgabe 8.25 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gegen .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn
dann ist
Unter der Bedingung
ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
Zeige, dass zwischen und eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von .
Es ist
und
deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen und . Es ist
Deshalb gibt es eine Nullstelle in . Es ist
Eine Nullstelle liegt also in .
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .
Nach Definition . ist
Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Korollar 16.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) unter Verwendung der Kettenregel gleich
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
die Ableitung . Daher gilt insgesamt
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen
und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).
Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung , gibt es ein mit
Division durch liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Standardbasis stehen, also ist direkt
Umgekehrt ist wegen , , ,
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine - Matrix und eine -Matrix und es seien
die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist
Dabei sind die Koeffizienten
gerade die Einträge in der Produktmatrix .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix
Das charakteristische Polynom ist
Somit sind Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit .
Der Eigenraum zu ist der Kern von . Dieser ist
Der Eigenraum zu ist der Kern von . Dieser ist
Der Eigenraum zu ist der Kern von . Dieser ist
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.
Aufgrund der verschiedenen Eigenwerte ist nach Korollar 28.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) diagonalisierbar. Es gibt daher nach [[Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] eine invertierbare Matrix derart, dass
eine Diagonalmatrix ist, wobei in der Diagonalen die verschiedenen Eigenwerte stehen. Nach [[Determinante/Multiplikationssatz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] und Lemma 26.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist