Lösung
- Ein
Körper
heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von eine Beziehung
(„größer als“)
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt
(
bedeutet
oder
).
- Für je zwei Elemente
gilt entweder
oder
oder
.
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Aus
folgt
(für beliebige
).
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Die
Reihe
-
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
-
konvergiert.
- Eine
Funktion
heißt ungerade, wenn für alle
die Gleichheit
-
gilt.
- Das Oberintegral ist definiert als das
Infimum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
oberen Treppenfunktionen
von .
- Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als Linearkombination der darstellen kann.
- Man nennt
-
den Kern von .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Regel für die Konvergenz der inversen Folge
einer reellen Folge.
- Die
Periodizätseigenschaften
für Sinus und Kosinus
(ohne spezielle Werte).
- Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
Lösung
- Es sei eine konvergente Folge in mit dem Grenzwert
und mit
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
-
- Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist
und
für alle .
- Es ist
und
für alle .
- Es ist
und
für alle .
- Es sei ein Körper und es seien
und
Vektorräume über . Es sei
, ,
eine Basis von und es seien
, ,
Elemente in . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
-
mit
-
In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?
- Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
- Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
- Linda engagiert sich bei Attac.
Lösung
(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.
Wir fassen die Lösung eines Sudokus
(unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung
-
auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
Lösung
Die Bedingungen sind:
Für jedes
-
ist die Abbildung
-
bijektiv.
Für jedes
-
ist die Abbildung
-
bijektiv.
Für jedes Paar
-
ist die Abbildung
-
bijektiv.
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Lösung
Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl
-
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach
Satz 2.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
Skizziere die Funktion
-
Lösung Gaußklammer/Minus innen und außen/Skizze/Aufgabe/Lösung
Bestätige die Gleichung
-
Lösung
Auf der einen Seite ist
-
und
-
die Summe daraus ist . Auf der anderen Seite ist
.
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion
-
Lösung
Wir schreiben
Daher ist die durch
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
Berechne
-
Lösung
Um die Brüche wegzukriegen, multiplizieren wir den Term mit und erhalten
-
Es ist
-
und
-
Deren Produkt ist
und die Koeffizienten sind
-
-
-
und
Der lineare Term hebt sich weg und somit ist der Gesamtausdruck gleich .
Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.
Lösung Approximation/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Lösung
Aufgrund
des Folgenkriteriums
müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Es sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Die Bildfolge konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen . Wir müssen
zeigen. Wir betrachten dann die Folge
-
Diese Folge konvergiert offenbar gegen , deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen . Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist , und diese konvergiert gegen . Also ist
.
Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge , die gegen konvergiert. Also ist
.
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
-
mit Hilfe von
-
Lösung
Es ist
Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Lösung
Die Aussage
-
folgt aus
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)).
Wir betrachten die Hilfsfunktion
-
Es ist
Also ist
und
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
liefert die Existenz eines
mit
-
Umstellen ergibt die Behauptung.
Lösung
Bestimme eine Stammfunktion von
-
Lösung
Man kann für jeden Summanden einzeln direkt eine Stammfunktion angeben, insgesamt ist
-
eine Stammfunktion.
Es sei
-
mit
.
Zeige durch Induktion, dass
-
ist.
Lösung
Für
-
ist die Aussage klar. Es sei die Aussage für bewiesen. Dann ist
Lösung
Die -Matrizen haben die Form
-
mit . Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung
-
ausdrücken. Wenn
ist, so muss
oder
sein. Im ersten Fall gibt es für und jeweils Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für und ebenfalls jeweils Möglichkeiten, allerdings darf man
nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei
insgesamt Möglichkeiten. Es sei also
.
Dann gilt
-
d.h. ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
nichtinvertierbare -Matrizen.
Bestimme die
Determinante
zur Matrix
-
Lösung
Die Summe der ersten und der vierten und die Summe der zweiten und der fünften Zeile ergeben jeweils , daher liegt eine lineare Abhängigkeit vor und die Determinante ist .
Wir betrachten die reelle Matrix
-
a) Bestimme
-
für
.
b) Sei
-
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .
Lösung
Es ist
-
-
-
-
b) Wir behaupten
-
und die rekursive Beziehung
-
mit den Anfangsbedingungen
und
.
Beides beweisen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen
-
ist
-
und
-
c) Das
charakteristische Polynom
zu ist
-
Somit sind
-
die Nullstellen und nach
Satz 28.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
die Eigenwerte von . Der Kern zu
-
wird von
-
und der Kern zu
-
wird von
-
erzeugt. Die Eigenvektoren sind also
-
und
-