Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/56/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	5	2	3	1	2	1	3	3	3	10	4	2	3	3	3	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Ein Polynom über einem Körper ${}K$ in einer Variablen ${}X$.
3. Das Maximum der Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

4. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Eine Linearkombination in einem ${}K$- Vektorraum.
6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Ein Ausdruck der Form

   $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

   mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

   heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

3. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

4. Eine Funktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

   $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$

   von ${}I$ gibt derart, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

5. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann heißt der Vektor

   $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$

   eine Linearkombination dieser Vektoren

6. Man nennt

   $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

   die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}x\in D$.
2. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Lösung

1. Für ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
   2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
2. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

   ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt

   ${}\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$

   für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}$.
3. Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dann ist

   ${}G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$

   eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Lösung

Multiplikation liefert

$573\cdot 4322=2476506{\text{ und }}1234\cdot 2007=2476638.$

Daher ist

${}{\frac {573}{1234}}\leq {\frac {2007}{4322}}\,$

und damit ist

${}p={\frac {573}{-1234}}={\frac {-573}{1234}}\geq {\frac {-2007}{4322}}=q\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Warum gibt es für das Produkt der ersten ${}n$ natürlichen Zahlen (beginnend mit ${}1$) ein eigenes Symbol (die Fakultät), aber nicht für die Summe der ersten ${}n$ natürlichen Zahlen?

Lösung

Die Summe aller natürlichen Zahlen von ${}1$ bis ${}n$ wird durch die Gaußsche Summenformel, also durch ${}{\frac {n(n+1)}{2}}$ ausgerechnet, sodass es kein weiteres Symbol dafür in der Mathematik braucht.

Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt ${}0,005$ Spülies. Er muss ${}10$ große Teller mit einem Durchmesser von ${}30$ Zentimetern, ${}6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von ${}20$ Zentimetern und ${}4$ zylinderförmige Becher, die ${}10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von ${}6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?

Lösung

Die (beidseitige) Fläche eines großen Tellers beträgt (in Quadratmeter)

${}2\cdot \pi \cdot 0,15^{2}=0,1413\,,$

die eines kleinen Tellers

${}2\cdot \pi \cdot 0,1^{2}=0,0628\,$

und die eines Bechers

${}2(\pi \cdot 0,03^{2}+2\cdot \pi \cdot 0,03\cdot 0,1)=2(0,0028+0,0188)=0,0432\,.$

Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich

${}10\cdot 0,1413+6\cdot 0,0628+4\cdot 0,0432=1,9626\,.$

Für einen Quadratmeter braucht er ${}200$ Sekunden, deshalb braucht er insgesamt

${}1,9626\cdot 200=392,52\,$

Sekunden, also ungefähr sechs einhalb Minuten.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Lösung

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für ${}\mathbb {R}$ gelten. Es ist

${}1\cdot (a+b{\mathrm {i} })=a+b{\mathrm {i} }\,,$

somit ist die ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir

${}{\begin{aligned}{\left((a+b{\mathrm {i} })(c+d{\mathrm {i} })\right)}(e+f{\mathrm {i} })&={\left(ac-bd+(bc+ad){\mathrm {i} }\right)}(e+f{\mathrm {i} })\\&=(ac-bd)e-(bc+ad)f+{\left((ac-bd)f+(bc+ad)e\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-bde-bcf-adf+{\left(acf-bdf+bce+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Ebenso ist

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+d{\mathrm {i} })(e+f{\mathrm {i} })\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(ce-df+(cf+de){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(ce-df)-b(cf+de)+{\left(b(ce-df)+a(cf+de)\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-adf-bcf+-bde+{\left(bce-bdf+acf+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Wenn

${}a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

ist, so ist mindestens eine der Zahlen ${}a$ oder ${}b$ von ${}0$ verschieden und damit ist ${}a^{2}+b^{2}>0$. Somit ist ${}{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl und es gilt

${}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}=1\,,$

also besitzt jedes Element ${}\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }+e+f{\mathrm {i} }\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+e)+(d+f){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(c+e)-b(d+f)+(a(d+f)+b(c+e)){\mathrm {i} }\\&=ac+ae-bd-bf+(ad+af+bc+be){\mathrm {i} }\\&=ac-bd+(ad+bc){\mathrm {i} }+ae-bf+(af+be){\mathrm {i} }\\&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }\right)}+(a+b{\mathrm {i} }){\left(e+f{\mathrm {i} }\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

$(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}&=4x^{6}-12x^{5}-3x^{4}+26x^{3}-3x^{2}-12x+4\\\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Lösung

Es seien

${}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$

und

${}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

mit ${}a_{n},b_{m}\neq 0$, also ${}n=\operatorname {grad} \,(P)$ und ${}m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei ${}m\neq n$ ist ${}\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei ${}m=n$ ist bei ${}a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${}0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen [[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Körper/Integritätsbereich/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] ist ${}a_{n}b_{m}\neq 0$ und somit ist ${}a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${}PQ$, dessen Grad somit gleich ${}n+m$ ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}3x\geq -8\,$

und

${}7x\leq 10\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Lösung

Die Bedingungen bedeuten

${}x\geq -{\frac {8}{3}}\,$

und

${}x\leq {\frac {10}{7}}\,,$

die Lösungsmenge ist also das Intervall ${}[-{\frac {8}{3}},{\frac {10}{7}}]$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\frac {-27+16}{12}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {11}{12}}.\end{aligned}}$

Da der quadratische Term links stets ${}\geq 0$ ist, ist ${}-{\frac {11}{12}}$ der minimale Wert der Funktion.

Aufgabe (1 Punkt)

Für die Zahl ${}1000000\pi$ soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${}{\frac {1}{1000}}$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für ${}\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?

Lösung

Man braucht eine rationale Approximation von ${}\pi$ mit einem Fehler von höchstens ${}{\frac {1}{1000000000}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

${}y_{n}=ux_{n}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ stetig im Punkt ${}a$, es gelte ${}g(a)=f(a)=h(a)$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ stetig ist.

Lösung

Zunächst ist ${}f(a)=g(a)=h(a)=:b$. Wir verwenden das Folgenkriterium. Es sei also ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge, die gegen ${}a$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit von ${}g$ konvergiert ${}g(x_{n})$ gegen ${}b$ und wegen der Stetigkeit von ${}h$ konvergiert ${}h(x_{n})$ ebenfalls gegen ${}b$. Dabei gilt

${}g(x_{n})\leq f(x_{n})\leq h(x_{n})\,.$

Aufgrund des Quetschkriteriums konvergiert auch ${}f(x_{n})$ gegen ${}b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

${}y=x^{2}\,$

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung ${}x^{2}$ in der zweiten Gleichung und erhalten

${}y^{2}+y-1=0\,.$

Also ist

${}y={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\,.$

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

${}y={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

und

${}x=\pm {\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,.$

Die beiden Schnittpunkte sind also ${}\left(-{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$ und ${}\left({\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$.

Aufgabe weiter

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 1}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 1},$

die durch

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {2}{x}}\,,{\text{ falls }}x\leq 2\,,\\{\frac {x}{2}}\,,{\text{ falls }}x>2\,,\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Skizziere den Graphen der Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ wohldefiniert ist.
3. Bestimme die Fixpunkte von ${}f$.
4. Bestimme die Fixpunkte der Hintereinanderschaltung ${}f\circ f$.
5. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?

Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder ${}\geq 1$ sind. Bei

   ${}1\leq x\leq 2\,$

   ist

   ${}1\geq {\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{2}}\,$

   und damit

   ${}f(x)={\frac {2}{x}}\geq 1\,,$

   bei

   ${}x\geq 2\,$

   ist ebenfalls

   ${}f(x)={\frac {x}{2}}\geq 1\,.$

3. Bei ${}x\leq 2$ lautet die Bedingung für einen Fixpunkt ${}{\frac {2}{x}}=x$, was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung ${}x={\sqrt {2}}$ führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
4. Für ${}x$ zwischen ${}1$ und ${}2$ ist auch

   ${}f(x)={\frac {2}{x}}\leq 2\,$

   und damit ist in diesem Bereich

   ${}f(f(x))={\frac {2}{\frac {2}{x}}}=x\,,$

   diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei ${}x$ mit

   ${}2<x\leq 4\,$

   ist

   ${}f(x)={\frac {x}{2}}\geq 2\,$

   und somit

   ${}f(f(x))=f{\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2}{\frac {x}{2}}}={\frac {4}{x}}<2\,,$

   in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei

   ${}x>4\,$

   ist

   ${}f(f(x))={\frac {x}{4}}\,$

   und es gibt keinen Fixpunkt.

5. Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei ${}x=2$ haben beide Ausdrücke den Wert ${}1$.
6. Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren (eventuell gleichlangen) Seite mit ${}x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis ${}x$ zu ${}1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen ${}{\frac {x}{2}}$ und ${}1$. Wenn

   ${}{\frac {x}{2}}\geq 1\,$

   ist, was genau bei

   ${}x\geq 2\,$

   der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich ${}{\frac {x}{2}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang ${}U$ und die Fläche ${}A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Lösung

Zwei Seiten haben die Länge ${}a$, zwei andere Seiten die Länge ${}b$; gegebenenfalls ist ${}a=b$. Es gilt ${}U=2a+2b$ und ${}A=ab$.

Auflösen der ersten Gleichung nach ${}b$ ergibt ${}b={\frac {U}{2}}-a$. Einsetzen in die zweite Gleichung: ${}A=a\left({\frac {U}{2}}-a\right)=a{\frac {U}{2}}-a^{2}$. Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: ${}a^{2}-{\frac {U}{2}}a+A=0$.

Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.

Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für ${}a$, nämlich ${}{\frac {U}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {U^{2}}{16}}-A}}$. Eine der beiden Lösungen ist dann ${}a$, die andere ist ${}b$. Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung ${}a=b=U/4$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}.$

Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

${}(x-1)'=1\,$

und die Ableitung der Nennerfunktion ist

${}{\left(\ln x\right)}'={\frac {1}{x}}\,.$

Die Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von ${}1$. Daher ist Hospital anwendbar und es ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {1}{\frac {1}{x}}}={\frac {1}{\frac {1}{1}}}=1\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr.$

Lösung

Mit der Substitution ${}r=\sin s$ ist

${}\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin s}{\cos s}}\cos sds=\int _{0}^{\pi /2}\sin sds=(-\cos s){|}_{0}^{\pi /2}=1\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Lösung

Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel ${}x$ und der Drehung um den Winkel ${}y$ ist die Drehung um den Winkel ${}x+y$. Nach [[Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(x+y)&-\operatorname {sin} \,(x+y)\\\operatorname {sin} \,(x+y)&\operatorname {cos} \,(x+y)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,x&-\operatorname {sin} \,x\\\operatorname {sin} \,x&\operatorname {cos} \,x\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,y&-\operatorname {sin} \,y\\\operatorname {sin} \,y&\operatorname {cos} \,y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y&-\cos x\cdot \sin y-\sin x\cdot \cos y\\\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y&\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Lösung

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf dem ${}K$- Vektorraum ${}V$, es seien ${}a,b\in K$ mit ${}a\neq 0$ und es sei ${}a\operatorname {Id} _{V}$ die Streckung zu ${}a$. Zeige, dass ${}b$ genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$ ist, wenn ${}ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ${}a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi$ ist.

Lösung

Es sei ${}b$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, mit

${}\varphi (v)=bv\,.$

Dann ist

${}{\left(a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi \right)}(v)=a\varphi (v)=abv\,.$

Dies bedeutet, dass ${}ab$ Eigenwert zu ${}a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi$ ist. Wegen

${}a^{-1}\operatorname {Id} _{V}\circ a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi =\varphi \,$

gilt auch die andere Implikation.