Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/2/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 2 4 4 1 1 7 6 4 4 4 5 7 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Lösung eines Anfangswertproblems

    zu einer Funktion

  2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion
  6. Das Mehrfachintegral zu einer stetigen Funktion

    auf einer kompakten Teilmenge .


Lösung

  1. Man nennt eine Funktion

    auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems

    wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

    gilt.

  2. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

    gilt.

  3. Es sei

    mit

    eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

    auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

  4. Die Abbildung heißt total differenzierbar in , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft

    gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

  5. Man nennt

    die Laplace-Ableitung von .

  6. Man nennt

    das (mehrdimensionale) Integral über zu , wobei den Subgraphen von bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung

    mit Koeffizienten

    .
  2. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion
    in einem Punkt .


Lösung

  1. Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
    mit verschiedenen , so bilden die Funktionen
    ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.
  2. Die zusammengesetzte Abbildung ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt besteht die Beziehung
  3. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und

    eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei mit . Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Wenn negativ definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Maximum in .
    2. Wenn positiv definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Minimum in .
    3. Wenn indefinit ist, so besitzt in weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems


Lösung

a) Wir setzen und . Eine Stammfunktion von ist und eine Stammfunktion von ist

Die Umkehrfunktion von ist

Daher ist

eine Lösung der Differentialgleichung.

b) Wir machen den Ansatz mit der Umkehrfunktion

was zur Lösung(sschar)

führt. Aus

folgt

Also ist

die Lösung des Anfangswertproblems.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Lösung

Es ist

Division durch ergibt die Behauptung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg


Lösung

Es ist

und somit ist der Integrand des Wegintegrals gleich

Eine Stammfunktion des linken Summanden ist

und des rechten Summanden ist

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Das Polynom hat an der Stelle einen negativen Wert, deshalb besitzt es eine positive und eine negative Nullstelle. Da eine weitere Nullstelle des charakteristische Polynoms ist, besitzt dieses positive und eine negative Nullstelle. Daher ist der Typ der Bilinearform gleich .


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im auf einen -dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?


Lösung

Da eine Minkowski-Form nach Definition vom Typ ist, gibt es einen -dimensionalen Untervektorraum, auf dem die Einschränkung positiv definit, also keine Minkowski-Form ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Addition


Lösung Graph (Abbildung)/R/Addition/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen

in einem Punkt eindeutig bestimmt ist.


Lösung

Angenommen, es gelte

und

mit linearen Abbildungen und und mit im Punkt stetigen Funktionen mit . Wir müssen zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung

Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass

gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor mit . Dann gilt für

Dies impliziert, dass für gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich . Also gilt , ein Widerspruch.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vierter Ordnung der Funktion

im Nullpunkt.


Lösung

Der Funktionswert ist

Die relevanten Ableitungen sind

Wenn man den Punkt einsetzt, so ergibt sich überall , außer beim Funktionswert, bei

und bei

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung vier gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind

und

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus

folgt sofort

also und daraus

Es kann also allenfalls im Punkt

ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

b) Die Abbildung ist nach den Voraussetzungen an stetig differenzierbar. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist in jedem Punkt

daher ist das totale Differential bijektiv und der Satz ist anwendbar.

c) Es seien mit dem gleichen Bildpunkt gegeben. Da stetig und nullstellenfrei ist, ist entweder überall positiv oder überall negativ. Daher ist die Stammfunktion streng wachsend oder streng fallend und jedenfalls injektiv. Aus folgt also . Aus

folgt sodann


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Wie betrachten die Abbildung

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung

erfüllen.


Lösung

Es ist

daher ist

da ja nach Voraussetzung ist. Die linke Seite der zu überprüfenden Gleichung ist

Die rechte Seite ist ebenfalls


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Lösung

Wir schreiben das Vektorfeld als . Die konstante Anfangsbedingung führt zu . Die erste Picard-Lindelöf-Iteration führt auf

Die zweite Picard-Lindelöf-Iteration führt auf

Die dritte Picard-Lindelöf-Iteration führt auf


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.

  1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
  2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.


Lösung

  1. Wir betrachten Quadrate mit Seitenlänge . Wir legen -mal jeweils Quadrate in eine Reihe hintereinander und erhalten dadurch Rechtecke, die jeweils die Seitenlängen und haben und aus Quadraten bestehen. Diese Rechtecke setzt man derart zusammen, dass die -Seiten der Rechtecke aneinander liegen. Dadurch entsteht insgesamt ein Rechteck mit den Seitenlängen und . Da alle Quadrate verbraucht sind, ist der Flächeninhalt gleich . Man verwendet dabei, dass der Flächeninhalt der Quadrate sich nicht ändert, wenn sie ihre Lage in der Ebene ändern, und dass die Überschneidung der Kanten, die beim Zusammenlegen auftritt, für den Flächeninhalt unerheblich ist.
  2. Es sei unter Verwendung eines Hauptnenners und . Es ist

    Wie in Teil 1 können wir das Rechteck mit den Seitenlängen und mit Quadraten der Seitenlänge zusammensetzen. Daher ist der Flächeninhalt des Rechtecks das -Vielfache des Flächeninhaltes des Quadrates mit der Seitenlänge . Wenn wir solche Quadrate haben, so können wir diese zum Einheitsquadrat zusammen setzen. Daher muss wiederum der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge gleich sein. Der Flächeninhalt des Ausgangsrechtecks ist also

    und stimmt mit dem Produkt der Seitenlängen überein.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die obere Einheitskreishälfte und sei

Berechne .


Lösung

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