Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 52/kontrolle
- Übungsaufgaben
Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.
Wir betrachten die Abbildung
(es ist also ).
a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.
b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .
Man untersuche die Funktion
auf Extrema (vergleiche Beispiel 52.4), indem man die Funktion als Hintereinanderschaltung
mit , , auffasst und Aufgabe 51.1 und Aufgabe 51.2 heranzieht.
Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion
Wir betrachten die Funktion
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Bestimme die Hesse-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu im Punkt .
- Bestimme den Typ der Hesse-Form zu im Punkt mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.
Wir betrachten die Determinante für - Matrizen als Funktion
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu und die kritischen Punkte.
- Untersuche auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
- Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum
auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.
Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt. Es sei ein Eigenvektor zur Hesse-Matrix in mit einem positiven Eigenwert. Zeige, dass in kein lokales Maximum besitzt.
Kommentar:
Die Hesse-Matrix ist eine symmetrische Matrix und repräsentiert die Hesse-Form, welche eine symmetrische Bilinearform ist. Genauer gesagt ist sie die Gramsche Matrix der Hesse-Form. Die im Vorhinein vielleicht sehr abstrakt erscheinende Vorlesung 44 zu Bilinearformen bekommt nun im Zusammenhang mit Extrema und der Hesse-Form eine praktische Bedeutung.
Damit die Funktion kein lokales Maximum im Punkt hat, wäre es wegen Satz 52.2 gut, wenn die Hesse-Form positiv definit oder indefinit wäre. Dann würde entweder ein lokales Minimum vorliegen oder gar kein Extremum.
Die einzige Information, die wir haben, ist, dass die Hesse-Matrix in mindestens einen positiven Eigenwert besitzt (dieser hat auch mindestens Eigenraumdimension 1). Ein Satz, den wir kennengelernt haben, der Rückschlüsse von der Grammatrix (hier Hesse-Matrix) auf die Definitheit der zugehörigen symmetrischen Bilinearform (hier die Hesse-Form) zulässt, ist das Eigenwertkriterium Satz 44.14.
Da wir einen positiven Eigenwert mit mindestens Eigenraumdimension 1 haben, ist die Summe der Dimseionen zu positiven Eigenräumen mindestens 1 und deshalb hat die Hesse-Form Typ mit . Nach Definition des Typs existiert ein Unterraum von , der mindestens Dimension 1 hat und auf dem die Hesse-Form positiv definit ist.
Kann die Hesse-Form jetzt überhaupt noch negativ definit sein? Wie müsste der Typ sein, damit die Hesse-Form positiv definit und wie, damit sie indefinit ist?
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung
gilt.
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion mit
für alle .
a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.
c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion
Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)
beschrieben.
- In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
- Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt konstant den Grundabstand besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.
Wir betrachten die Funktion
Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Kommentar:
Für die Aufgabe ist auch mit Blick auf die Lösung der Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} wichtig ein kleines Detail zu sehen. Es soll eine maximale untere Treppenfunktion bei gebenen Sprungstellen (hier nur eine) konstruiert werden. Das ist für eine beliebige Funktion ersteinmal keine leichte Aufgabe, denn wegen der Maximalität der Treppenfunktion, müsste über jedes Intervallstück der minimale Wert der Funktion gefunden werden, damit die Stufen mit eben diesem Wert als Höhe, so groß wie möglich unterhalb der Funktion sind. Doch wir haben es hier mit einer Funktion zu tun, die ein spezielles Verhalten über dem Intervall hat, welches ist das?
Wir betrachten die Funktion
Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe 18.10
an.
Wir betrachten die Funktion
- Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von und .
- Bestimme das Punktepaar zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Sei
eine Funktion und betrachte
Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.