Kurs:Mathematik für Anwender I/Teiltest 1/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  2. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  3. Eine lineare Abbildung

    zwischen den -Vektorräumen und .

  4. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  5. Die geometrische Reihe für .
  6. Die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  7. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt

    .

  8. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  2. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  3. Eine lineare Abbildung

    zwischen den -Vektorräumen und .

  4. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  5. Die geometrische Reihe für .
  6. Die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  7. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt

    .

  8. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Binomische Lehrsatz.
  2. Der Multiplikationssatz für Determinanten.
  3. Das Quotientenkriterium für Reihen.
  4. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
    in einem Punkt .

Lösung

  1. Es seien Elemente in einem Körper. Ferner sei eine natürliche Zahl.

    Dann gilt

  2. Es sei ein Körper und .

    Dann gilt für Matrizen die Beziehung

  3. Es sei

    eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein

    für alle (insbesondere sei für ).

    Dann konvergiert die Reihe absolut.

  4. Die Stetigkeit von im Punkt ist äquivalent dazu, dass für jede Folge , die gegen konvergiert, die Bildfolge gegen konvergiert.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.

Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.


 

Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Lösung

a) Es ist

b) Das inverse Element zu ist , also ist

c) Der Abstand von zum Nullpunkt ist , daher ist der Abstand von zum Nullpunkt gleich .


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .

Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung

Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch

und die dritte Gleichung durch

Wir wählen , so dass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und

ist ein Basisvektor von .


 

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


 

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.

Lösung

Der Unterraum ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei eine Basis von , die wir durch zu einer Basis von ergänzen können. Es sei . Wir betrachten die lineare Abbildung

die durch

und

festgelegt ist (dabei sei der -te Standardvektor des ), was nach dem Basisfestlegungssatz möglich ist. Wegen

ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist . Es sei

Dann ist

Da die Standardbasis vorliegt, sind die und daher ist . Also ist .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

Lösung


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.

Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)

Dies ist gleich genau dann, wenn

ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf

Daher sind

die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen) Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Lösung

Die Formel für lautet

Daher ist

Somit ist

Schließlich ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.

Lösung

Für ist

und für ist

Daher gilt für die Reihenglieder für die Abschätzung

Die Reihe konvergiert nach Beispiel ***** und dies gilt auch für . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch

und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.


 

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Lösung

Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also


 

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .

Lösung

a) Es ist

b) Es ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Lösung

Eine lineare Funktion wird durch mit beschrieben. Eine lineare Funktion, die im Punkt tangential zu ist, muss und erfüllen. Daraus ergibt sich die Bedingung

bzw.

Also ist oder . Daher gibt es zwei Tangenten an , die lineare Funktionen sind, nämlich und .


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.

Lösung

Die Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle gleich . Daher ist die Umkehrfunktion für differenzierbar. Daher ist auch als Hintereinanderschaltung von und dieser Funktion für differenzierbar.

Für betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für den Ausdruck

Wir betrachten positive und können den Nenner als

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

Für steht hier und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist in nicht differenzierbar.


 

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