Lösung
- Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
- Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol durch
-
- Eine
Primzahl
der Form heißt Mersennesche Primzahl.
- Unter dem ganzen Abschluss von in versteht man die Menge aller Elemente , die
ganz
über sind,
- Der Automorphismus
-
auf wird als Konjugation bezeichnet.
- Eine
binäre quadratische Form
heißt
einfach,
wenn die Koeffizienten
teilerfremd
sind.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
- Der
Primzahlsatz.
- Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.
Lösung
- Für eine ungerade Primzahl gilt:
-
- Es gilt die asymptotische Abschätzung
-
Das heißt
-
- Es sei
eine
quadratfreie Zahl
und der zugehörige
quadratische Zahlbereich.
Dann ist die
Diskriminante
von gleich
-
und
-
Lösung
a) Es ist
-
-
-
Somit ist
b) Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
-
Diese Zahl hat modulo den Rest und modulo den Rest , d.h. entspricht dem Restepaar .
Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
-
Diese Zahl hat modulo den Rest und modulo den Rest , d.h. entspricht dem Restepaar .
c) Es ist
-
Lösung
Lösung
a) Es ist
-
und daher ist
(und ebenso )
ein Teiler von .
b) Dies ist nicht der Fall. Für
-
ist
-
Das Polynom hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von . Daher ist kein Teiler von .
c) Da Teiler von sind, ergibt sich aus Teil a), dass und Teiler von sind. Daher sind Primteiler von .
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
-
Bemerkung: und sind Primzahlen.
Lösung
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Zeige, dass es
überabzählbar
viele
Untergruppen
der multiplikativen Gruppe gibt.
Lösung
Zu einer jeden Teilmenge von Primzahlen betrachten wir
-
wobei in den Produkten stets
bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu ist
, also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für
-
sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei
,
auch aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.
Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie
-
wobei einem Paar die komplexe Zahl entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
-
- Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
- Zeige, dass jedes Quadrat aus zum Bild gehört.
- Man gebe ein Beispiel für ein , das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.
Lösung
- Wir behaupten, dass nicht zum Bild gehört. Nehmen wir
-
mit an, so hat die Norm . Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch besitzt in keine Quadratwurzel.
- Sei
-
mit . Dann ist
-
und die Norm des rechten Faktors ist
(wegen der Multiplikativität der Norm)
-
sodass also eine gesuchte Darstellung vorliegt.
- Die Zahl ist nach
Fakt
prim
in und somit kein Quadrat in . Nach
Fakt,
Fakt,
Fakt,
Fakt
und
Fakt
ist auch kein Quadrat in . Wegen
-
gehört die aber zum Bild.
Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.
Lösung
Es sei zunächst
mit prim. Dann sind die von verschiedenen Teiler von durch
-
gegeben. Daher ist ihre Summe gleich
-
also ist vollkommen. Es sei umgekehrt vollkommen. Wir setzen
(in Anlehnung an das Ziel)
an
-
mit ungerade und
,
da ja gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist
nach Fakt
die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits
-
und andererseits wegen der Vollkommenheit
.
Insgesamt ergibt sich also
.
Da ungerade ist, gilt
-
Die Annahme
führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler von gibt, was zu
-
führt. Also ist
und somit
.
Die Teilersumme einer Zahl ist aber gleich nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.
Zeige, dass in die Gleichung
-
nur die triviale Lösung besitzt.
Lösung
Die Einheitengruppe von ist zyklisch der Ordnung , also isomorph zur additiven Gruppe
-
Daher gibt es neben der noch sieben weitere vierte Potenzen in . Diese sind
(wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen)
-
Eine Dreiersumme mit einer ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als und größer als und nicht . Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir , doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen
und ,
was sich durch eine positive Zahl nicht zu ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen
-
muss auf jeden Fall die vorkommen. Es ist
und die andere Kombinationen mit nur einer sind größer als . Mit zweimal ist es auch nicht möglich, da nicht zur Liste gehört, und dreimal geht auch nicht.
Lösung
Für welche
quadratfreien Zahlen
mit
-
ist eine
Einheit?
Lösung
Es sei ein
Körper
und sei
-
ein
surjektiver
Gruppenhomomorphismus
mit
für alle
.
Zeige, dass
-
ein
diskreter Bewertungsring
ist.
Lösung
Zuerst zeigen wir, dass ein Unterring des Körpers ist. Es ist
.
Da ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
sein. Für Elemente
ist
und damit
,
da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso
-
nach Voraussetzung, sodass multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist
,
woraus aber
und somit
folgt. Also gehören auch die Negativen zu , und somit liegt ein kommutativer Ring vor.
Weiterhin muss ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass
-
das einzige maximale Ideal ist. Die gehört dazu und wegen
ist die Menge additiv abgeschlossen. Für
und
ist
und
und daher
,
sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.
Das Komplement besteht aus allen Elementen
mit
.
Dann ist aber auch
und damit
,
d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist maximal.
Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu
ein Element mit
,
was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass prim ist. Es gilt generell, dass ein Vielfaches von
()
ist genau dann, wenn
ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu
äquivalent ist. Aus mit
,
folgt nun
und dann muss
oder
sein, sodass eines ein Vielfaches von ist. Also ist prim.
Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element
mit
assoziiert zu ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen und
, ,
vor.
Lösung
Lösung
Wegen
-
ist unmittelbar
-
Zum Beweis der anderen Inklusion sei
,
also
mit
-
Die Bedingung
-
beinhaltet insbesondere, dass es Elemente
und
mit
-
gibt. Somit ist
-
Wegen
bedeutet dies, dass zu dem von erzeugten gebrochenen Ideal, also zu , gehört.