Euklidischer Raum/Abstände/Teilmengen/Einführung/Textabschnitt
Speziell werden wir dieses Konzept auf normierte Vektorräume und auf euklidische Vektorräume anwenden. Zu zwei Punkten ist der Abstand zwischen den Mengen und natürlich gleich .
Wir werden uns hauptsächlich mit Situationen beschäftigen, in denen das Infimum angenommen wird, also ein Minimum ist. Für lineare Objekte ist dieses Verhalten typisch.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein Untervektorraum und .
Dann ist derjenige Punkt auf , der unter allen Punkten auf zu den minimalen Abstand besitzt.
Insbesondere ist
Zu ist nach dem Satz des Pythagoras
da ja und aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird minimal genau dann, wenn ist, was genau bei
der Fall ist.
In diesem Zusammenhang nennt man auch den Lotfußpunkt von auf .
Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein Untervektorraum und . Es sei eine Orthonormalbasis von . Dann ist
Nach Fakt ist
und nach Fakt ist
Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis von . Also ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras
Es sei und der von dieser Auswahl an Standardvektoren aufgespannte Achsenunterraum. Sei
Dann ist der Abstand von zu gleich
Der Lotfußpunkt von auf ist
mit
Es sei ein Vektor mit und
der durch als Normalenvektor definierte Untervektorraum.
Dann ist für einen Vektor der Abstand zu gleich
Es sei eine Orthonormalbasis von und
Dann ist
und nach Fakt ist
was in Verbindung mit
das Resultat liefert.
Die bisherigen Überlegungen übertragen sich direkt auf affine Unterräume.
Es sei ein reeller affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum , ein Punkt und ein affiner Unterraum. Bei ist der Abstand von zu gleich . Im Allgemeinen schreibt man
mit einem Aufpunkt und mit einem Untervektorraum und bestimmt das orthogonale Komplement von in . Wenn eine Basis von und eine Basis von ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung
Es ist dann
der Lotfußpunkt von auf und der Abstand von zu ist
Wenn die eine Orthonormalbasis von bilden, so ist dies gleich .
Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes zu der Geraden , die durch gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form
und ist ein zu orthogonaler Vektor. Es ist
Somit ist der Lotfußpunkt gleich
und der Abstand ist
Es sei ein euklidischer Vektorraum und seien und nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen . Es sei
mit , und .
Dann ist der Abstand gleich und wird in den Punkten und angenommen.
Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf als auch auf senkrecht.
Es sei also mit , und , wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei nicht eindeutig bestimmt sein müssen (falls ist), aber eindeutig bestimmt ist. Es ist dann
und dabei ist und . Der Abstand zwischen und ist . Für beliebige Punkte und mit und ist
d.h.
In der vorstehenden Aussage sind die Punkte, in denen das Minimum angenommen wird, nicht eindeutig bestimmt, man denke beispielsweise an zwei parallele Geraden in der Ebene. Eindeutigkeit liegt vor, wenn der Durchschnitt der zu gehörenden Untervektorräume gleich ist. Dies ist bei windschiefen Geraden der Fall.
Zwei (affine) Geraden heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor senkrecht. Einen solchen Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei
und
Das lineare Gleichungssystem
besitzt eine eindeutige Lösung . Dabei sind und die Lotfußpunkte, in denen nach Fakt der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist .
Es seien
und
windschiefe Geraden im mit Vektoren . Es sei ein normierter Vektor, der zu und senkrecht sei.
Dann ist
Wir gehen von Beispiel aus und betrachten
Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Fakt (5) und da ein lineares Vielfaches von ist
Es seien
und
windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei
und
Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten
und
ist (mit )
Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck in den beiden reellen Variablen und vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind
und
Wenn wir diese gleich setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen und . Mit der Cramerschen Regel erhält man
und
Wenn und normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu
und