Euklidischer Raum/Abstände/Teilmengen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu zwei nichtleeren Teilmengen ${}A,B\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$ nennt man

${}d(A,B):=\inf {\left(d(P,Q),\,P\in A,\,Q\in B\right)}\,$

den Abstand der Teilmengen ${}A$ und ${}B$.

Speziell werden wir dieses Konzept auf normierte Vektorräume und auf euklidische Vektorräume anwenden. Zu zwei Punkten ${}P,Q\in V$ ist der Abstand zwischen den Mengen ${}\{P\}$ und ${}\{Q\}$ natürlich gleich ${}d(P,Q)$.

Wir werden uns hauptsächlich mit Situationen beschäftigen, in denen das Infimum angenommen wird, also ein Minimum ist. Für lineare Objekte ist dieses Verhalten typisch.

Lemma

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}v\in V$.

Dann ist ${}p_{U}(v)$ derjenige Punkt auf ${}U$, der unter allen Punkten auf ${}U$ zu ${}v$ den minimalen Abstand besitzt.

Insbesondere ist

${}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,.$

Beweis

Zu ${}u\in U$ ist nach dem Satz des Pythagoras

${}d(v,u)^{2}=d(v,p_{U}(v))^{2}+d(p_{U}(v),u)^{2}\,,$

da ja ${}p_{U}(v)-u\in U$ und ${}v-p_{U}(v)\in U^{\perp }$ aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird minimal genau dann, wenn ${}d(p_{U}(v),u)=0$ ist, was genau bei

${}p_{U}(v)=u\,$

der Fall ist.

$\Box$

In diesem Zusammenhang nennt man ${}p_{U}(v)$ auch den Lotfußpunkt von ${}v$ auf ${}U$.

Korollar

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}v\in V$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Orthonormalbasis von ${}U$. Dann ist

${}d(v,U)^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}\,.$

Beweis

Nach Fakt ist

${}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,$

und nach Fakt ist

${}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$. Also ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${}{\begin{aligned}d(v,U)^{2}&=d{\left(v,\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=d{\left(\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i},\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=\Vert {\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ und ${}U=\langle e_{i},\,i\in J\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der von dieser Auswahl an Standardvektoren aufgespannte Achsenunterraum. Sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist der Abstand von ${}v$ zu ${}U$ gleich

${}d(v,U)={\sqrt {\sum _{i\not \in J}v_{i}^{2}}}\,.$

Der Lotfußpunkt von ${}v$ auf ${}U$ ist

${}p_{U}(v)={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit

${}w_{i}={\begin{cases}v_{i},\,{\text{ falls }}i\in J,\,\\0,\,{\text{ falls }}i\not \in J\,.\end{cases}}\,$

Korollar

Es sei ${}a\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor mit ${}\Vert {a}\Vert =1$ und

${}U={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}=(\mathbb {R} a)^{\perp }\,$

der durch ${}a$ als Normalenvektor definierte Untervektorraum.

Dann ist für einen Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ der Abstand zu ${}U$ gleich

${}d(U,v)=\vert {\left\langle a,v\right\rangle }\vert \,.$

Beweis

Es sei ${}a,u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ und

${}v=\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,.$

Dann ist

${}p_{U}(v)=\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,$

und nach Fakt ist

${}d(U,v)=\Vert {v-p_{U}(v)}\Vert =\Vert {\lambda a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \Vert {a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \,,$

was in Verbindung mit

${}\left\langle a,v\right\rangle =\left\langle a,\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\right\rangle =\left\langle a,\lambda a\right\rangle =\lambda \,$

das Resultat liefert.

$\Box$

Die bisherigen Überlegungen übertragen sich direkt auf affine Unterräume.

Beispiel

Es sei ${}E$ ein reeller affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum ${}V$, ${}P\in E$ ein Punkt und ${}F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Bei ${}P\in F$ ist der Abstand von ${}P$ zu ${}F$ gleich ${}0$. Im Allgemeinen schreibt man

${}F=Q+U\,$

mit einem Aufpunkt ${}Q\in F$ und mit einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ und bestimmt das orthogonale Komplement ${}W=U^{\perp }$ von ${}U$ in ${}V$. Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von ${}U$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von ${}W$ ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung

${}{\overrightarrow {PQ}}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}\,.$

Es ist dann

${}L=P+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}=Q-\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}\,$

der Lotfußpunkt von ${}P$ auf ${}F$ und der Abstand von ${}P$ zu ${}L$ ist

${}d{\left(P,F\right)}=d{\left(P,L\right)}=\Vert {\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}}\Vert \,.$

Wenn die ${}w_{j}$ eine Orthonormalbasis von ${}U$ bilden, so ist dies gleich ${}{\sqrt {\sum _{j=1}^{k}b_{j}^{2}}}$.

Beispiel

Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes ${}P={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$ zu der Geraden ${}G$, die durch ${}2x-3y=7$ gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ ist ein zu ${}G$ orthogonaler Vektor. Es ist

${}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\-5\end{pmatrix}}=-{\frac {23}{26}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist der Lotfußpunkt gleich

${}{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {80}{13}}\\{\frac {23}{13}}\end{pmatrix}}\,$

und der Abstand ist

${\frac {14}{13}}{\sqrt {13}}.$

Lemma

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und seien ${}E_{1}=P_{1}+U_{1}$ und ${}E_{2}=P_{2}+U_{2}$ nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$. Es sei

${}P_{1}-P_{2}=u_{1}+u_{2}+u\,$

mit ${}u_{1}\in U_{1}$, ${}u_{2}\in U_{2}$ und ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$.

Dann ist der Abstand ${}d(E_{1},E_{2})$ gleich ${}\Vert {u}\Vert$ und wird in den Punkten ${}P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und ${}P_{2}+u_{2}\in E_{2}$ angenommen.

Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf ${}E$ als auch auf ${}F$ senkrecht.

Beweis

Es sei also ${}P-Q=u_{1}+u_{2}+u$ mit ${}u_{1}\in U_{1}$, ${}u_{2}\in U_{2}$ und ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$, wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei ${}u_{1},u_{2}$ nicht eindeutig bestimmt sein müssen (falls ${}U_{1}\cap U_{2}\neq 0$ ist), aber ${}u$ eindeutig bestimmt ist. Es ist dann

${}P_{1}-u_{1}=P_{2}+u_{2}+u\,$

und dabei ist ${}Q_{1}:=P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und ${}Q_{2}:=P_{2}+u_{2}\in E_{2}$. Der Abstand zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ ist ${}\Vert {u}\Vert$. Für beliebige Punkte ${}R_{1}=Q_{1}+v_{1}\in E_{1}$ und ${}R_{2}=Q_{2}+v_{2}\in E_{2}$ mit ${}v_{1}\in U_{1}$ und ${}v_{2}\in U_{2}$ ist

${}{\begin{aligned}d(R_{1},R_{2})^{2}&=\Vert {R_{1}-R_{2}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v_{1}-v_{2}+u}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v_{1}-v_{2}+u,v_{1}-v_{2}+u\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}-v_{2},v_{1}-v_{2}\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&\geq \left\langle u,u\right\rangle ,\end{aligned}}$

d.h.

${}d(R_{1},R_{2})\geq \Vert {u}\Vert \,.$

$\Box$

In der vorstehenden Aussage sind die Punkte, in denen das Minimum angenommen wird, nicht eindeutig bestimmt, man denke beispielsweise an zwei parallele Geraden in der Ebene. Eindeutigkeit liegt vor, wenn der Durchschnitt der zu ${}E,F$ gehörenden Untervektorräume gleich ${}0$ ist. Dies ist bei windschiefen Geraden der Fall.

Beispiel

Zwei (affine) Geraden ${}G,H\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor ${}u$ senkrecht. Einen solchen Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,.$

Das lineare Gleichungssystem

${}P-Q=av+bw+cu\,$

besitzt eine eindeutige Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$. Dabei sind ${}P-av\in G$ und ${}Q+bw\in H$ die Lotfußpunkte, in denen nach Fakt der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist ${}\Vert {cu}\Vert$.

Korollar

Es seien

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,$

windschiefe Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit Vektoren ${}v,w\in \mathbb {R} ^{3}$. Es sei ${}u$ ein normierter Vektor, der zu ${}v$ und ${}w$ senkrecht sei.

Dann ist

${}d(G,H)=\vert {\left\langle P-Q,u\right\rangle }\vert \,.$

Beweis

Wir gehen von Beispiel aus und betrachten

${}P-Q=av+bw+cu\,.$

Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Fakt  (5) und da ${}u$ ein lineares Vielfaches von ${}v\times w$ ist

${}{\begin{aligned}c&={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&P_{1}-Q_{1}\\v_{2}&w_{2}&P_{2}-Q_{2}\\v_{3}&w_{3}&P_{3}-Q_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&u_{1}\\v_{2}&w_{2}&u_{2}\\v_{3}&w_{3}&u_{3}\end{pmatrix}}}}\\&={\frac {\left\langle v\times w,P-Q\right\rangle }{\left\langle v\times w,u\right\rangle }}\\&={\frac {\left\langle u,P-Q\right\rangle }{\left\langle u,u\right\rangle }}\\&=\left\langle u,P-Q\right\rangle .\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Es seien

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,$

windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei

${}P={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\,.$

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten

${}P'={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q'={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\,$

ist (mit ${}c_{i}=a_{i}-b_{i}$)

${}{\begin{aligned}d(P',Q')^{2}&={\left(c_{1}+sv_{1}-tw_{1}\right)}^{2}+{\left(c_{2}+sv_{2}-tw_{2}\right)}^{2}+{\left(c_{3}+sv_{3}-tw_{3}\right)}^{2}\\&=c_{1}^{2}+s^{2}v_{1}^{2}+t^{2}w_{1}^{2}+2sc_{1}v_{1}-2tc_{1}w_{1}-2stv_{1}w_{1}+c_{2}^{2}+s^{2}v_{2}^{2}+t^{2}w_{2}^{2}+2sa_{2}v_{2}-2tc_{2}w_{2}-2stv_{2}w_{2}+c_{3}^{2}+s^{2}v_{3}^{2}+t^{2}w_{3}^{2}+2sc_{3}v_{3}-2tc_{3}w_{3}-2stv_{3}w_{3}\\&=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+2s{\left(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\right)}-2t{\left(c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}\right)}+s^{2}{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}+t^{2}{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2st{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}.\end{aligned}}$

Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck ${}f(s,t)$ in den beiden reellen Variablen ${}s$ und ${}t$ vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial s}}=2{\left(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\right)}+2s{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}-2t{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,$

und

${\frac {\partial f}{\partial t}}=2{\left(c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}\right)}+2t{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2s{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,.$

Wenn wir diese gleich ${}0$ setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen ${}s$ und ${}t$. Mit der Cramerschen Regel erhält man

${}s={\frac {\det {\begin{pmatrix}-c_{1}v_{1}-c_{2}v_{2}-c_{3}v_{3}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-c_{1}w_{1}-c_{2}w_{2}-c_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,$

und

${}t={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-c_{1}v_{1}-c_{2}v_{2}-c_{3}v_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&-c_{1}w_{1}-c_{2}w_{2}-c_{3}w_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,.$

Wenn ${}v$ und ${}w$ normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu

${}s={\frac {-\left\langle P-Q,v\right\rangle -\left\langle P-Q,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{1-\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$

und

${}t={\frac {-\left\langle P-Q,w\right\rangle -\left\langle P-Q,v\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{1-\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,.$