Euklidischer Raum/Abstände/Teilmengen/Einführung/Textabschnitt


Zu zwei nichtleeren Teilmengen in einem metrischen Raum nennt man

den Abstand der Teilmengen und .

Speziell werden wir dieses Konzept auf normierte Vektorräume und auf euklidische Vektorräume anwenden. Zu zwei Punkten ist der Abstand zwischen den Mengen und natürlich gleich .

Wir werden uns hauptsächlich mit Situationen beschäftigen, in denen das Infimum angenommen wird, also ein Minimum ist. Für lineare Objekte ist dieses Verhalten typisch.



Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein Untervektorraum und .

Dann ist derjenige Punkt auf , der unter allen Punkten auf zu den minimalen Abstand besitzt.

Insbesondere ist

Zu ist nach dem Satz des Pythagoras

da ja und aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird minimal genau dann, wenn ist, was genau bei

der Fall ist.


In diesem Zusammenhang nennt man auch den Lotfußpunkt von auf .



Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein Untervektorraum und . Es sei eine Orthonormalbasis von . Dann ist

Nach Fakt ist

und nach Fakt ist

Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis von . Also ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras



Es sei und der von dieser Auswahl an Standardvektoren aufgespannte Achsenunterraum. Sei

Dann ist der Abstand von zu gleich

Der Lotfußpunkt von auf ist

mit




Es sei ein Vektor mit und

der durch als Normalenvektor definierte Untervektorraum.

Dann ist für einen Vektor der Abstand zu gleich

Es sei eine Orthonormalbasis von und

Dann ist

und nach Fakt ist

was in Verbindung mit

das Resultat liefert.


Die bisherigen Überlegungen übertragen sich direkt auf affine Unterräume.


Es sei ein reeller affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum , ein Punkt und ein affiner Unterraum. Bei ist der Abstand von zu gleich . Im Allgemeinen schreibt man

mit einem Aufpunkt und mit einem Untervektorraum und bestimmt das orthogonale Komplement von in . Wenn eine Basis von und eine Basis von ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung

Es ist dann

der Lotfußpunkt von auf und der Abstand von zu ist

Wenn die eine Orthonormalbasis von bilden, so ist dies gleich .



Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes zu der Geraden , die durch gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form

und ist ein zu orthogonaler Vektor. Es ist

Somit ist der Lotfußpunkt gleich

und der Abstand ist




Es sei ein euklidischer Vektorraum und seien und nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen . Es sei

mit , und .

Dann ist der Abstand gleich und wird in den Punkten und angenommen.

Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf als auch auf senkrecht.

Es sei also mit , und , wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei nicht eindeutig bestimmt sein müssen (falls ist), aber eindeutig bestimmt ist. Es ist dann

und dabei ist und . Der Abstand zwischen und ist . Für beliebige Punkte und mit und ist

d.h.


In der vorstehenden Aussage sind die Punkte, in denen das Minimum angenommen wird, nicht eindeutig bestimmt, man denke beispielsweise an zwei parallele Geraden in der Ebene. Eindeutigkeit liegt vor, wenn der Durchschnitt der zu gehörenden Untervektorräume gleich ist. Dies ist bei windschiefen Geraden der Fall.


Zwei (affine) Geraden heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor senkrecht. Einen solchen Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei

und

Das lineare Gleichungssystem

besitzt eine eindeutige Lösung . Dabei sind und die Lotfußpunkte, in denen nach Fakt der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist .




Es seien

und

windschiefe Geraden im mit Vektoren . Es sei ein normierter Vektor, der zu und senkrecht sei.

Dann ist

Wir gehen von Beispiel aus und betrachten

Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Fakt  (5) und da ein lineares Vielfaches von ist



Es seien

und

windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei

und

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten

und

ist (mit )

Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck in den beiden reellen Variablen und vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind

und

Wenn wir diese gleich setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen und . Mit der Cramerschen Regel erhält man

und

Wenn und normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu

und