Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang D
In Analysis II vergessen.
Es sei
eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion
Dann gilt die Beziehung
Da die Grenzfunktion nach Lemma 16.4 stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Satz 23.14. Für jedes gibt es ein mit
für alle und alle . Daher gilt für diese die Abschätzung unter Verwendung von Lemma 23.15 (3) und Lemma 23.15 (6)
Es sei ein metrischer Raum und ein kompaktes Intervall. Es sei
eine stetige Funktion.
Dann ist auch die Funktion
stetig.
Aufgrund von Satz 34.3 müssen wir für jede konvergente Folge in mit dem Grenzwert zeigen, dass die Folge der Integrale
gegen
konvergiert. Aufgrund von Lemma Anhang C.1 genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert. Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ein und ein mit gibt. So können wir eine Teilfolge mit zugehörigen Punkten konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge konvergiert, sagen wir gegen . Wegen der Stetigkeit von und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzungen und gelten. Damit ist
ein Widerspruch.
Es sei eine kompakte Teilmenge und sei
eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum .
Dann ist gleichmäßig stetig.
Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass für kein die Beziehung für alle erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes ein Paar mit , aber mit . Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Satz 36.9 eine Teilfolge (dabei ist unendlich) von , die gegen ein konvergiert. Die entsprechende Teilfolge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen und gegen . Dies ergibt aber einen Widerspruch, da ist.
Es seien und reelle Intervalle,
eine stetige Abbildung, die in Richtung der Variablen stetig partiell differenzierbar sei.
Dann ist die Abbildung
(nach ) differenzierbar und es gilt
Aufgrund der Differenzierbarkeit von nach gibt es zu jedem nach Satz 18.5 eine in stetige Funktion mit und mit
Wir setzen
Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen
und
in jedem Punkt stetig ist. Bei
kann man
auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Es sei also eine Folge, die gegen
konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass für alle ist, da ja ist. Es ist
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem ein mit
und somit ist der obige Ausdruck gleich
Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen wird dies beliebig klein.
In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über integrieren und erhält ( ist in der Integration konstant)
Der Fehlerausdruck
ist stetig in , da stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist , sodass die Funktion linear approximierbar und damit differenzierbar ist.
Es sei ein reelles Intervall, eine offene Teilmenge und
eine stetige Abbildung, die in Richtung einer jeden Variablen , , stetig partiell differenzierbar sei.
Dann ist die Abbildung
partiell differenzierbar und es gilt