Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 16

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius ${}r$ besitzt den Flächeninhalt ${}4\pi r^{2}$. Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wir eine möglichst natürliche ${}2$-Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann.

Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für ${}1\leq i,j\leq n$)

$g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

${}C^{1}$- differenzierbar sind.

Die auf den Karten definierten Funktionen ${}g_{ij}$ nennt man (metrische oder riemannsche) Fundamentalfunktionen. Man fasst sie zu einer Matrix ${}{\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ zusammen, die man auch die metrische Fundamentalmatrix (oder die erste Fundamentalmatrix oder den metrischen Fundamentaltensor) nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also

${}g=\det {\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$

die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach [[Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]] überall positiv ist.

Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt für jeden Punkt (und überhaupt jeder euklidische Raum) sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ wie die Sphäre oder der Torus.

Satz

Es sei ${}N$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.

Dann ist ${}M$ ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Beweis

Für jeden Punkt ${}P\in M$ ist ${}T_{P}M\subseteq T_{P}N$ ein Untervektorraum nach Satz 10.3. Daher induziert das Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ auf ${}T_{P}N$ ein Skalarprodukt auf ${}T_{P}M$. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

eine Karte von ${}N$ mit ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die eine Bijektion ${}\alpha$ zwischen ${}M\cap W$ und ${}\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ induziere (mit ${}0\in \mathbb {R} ^{m-n}$). Unter dieser Identifizierung ist ${}T_{P}M\cong \mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit den Basisvektoren ${}e_{i}$, ${}i\leq m$. Für Paare ${}e_{i},e_{j}$, ${}1\leq i,j\leq m$, von solchen Vektoren gelten dann für ${}Q\in \mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}$

da ja das Skalarprodukt auf ${}T_{\alpha ^{-1}(Q)}M$ einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}T_{\alpha ^{-1}(Q)}N$ ist und da ${}\alpha$ die Einschränkung von ${}\theta$ ist.

$\Box$

Die einfachsten Beispiele sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, wobei sich das Standardskalarprodukt direkt auf ${}M$ überträgt.

Vektorfelder und ${}1$-Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit

Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und ${}1$-Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte.

Lemma

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Dann ist die Abbildung

${\mathcal {V}}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,F\longmapsto \omega _{F},$

mit

${}{\left(\omega _{F}(P)\right)}(v):=\left\langle F(P),v\right\rangle _{P}\,,$

wobei ${}P\in M$ ist und ${}v$ einen Tangentenvektor aus ${}T_{P}M$ bezeichnet, eine Isomorphie zwischen den Vektorfeldern auf ${}M$ und den ${}1$- Formen auf ${}M$.

Beweis

Für jeden Punkt ${}P\in M$ ist die Abbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,u\longmapsto \left\langle u,-\right\rangle _{P},$

nach Lemma 38.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine Isomorphie. Daraus folgt direkt, dass die globale Zuordnung eine Bijektion ist. Für die Linearität der Zuordnung siehe Aufgabe 16.3.

$\Box$

Bemerkung  

Auf einem euklidischen Vektorraum entsprechen sich die Vektorfelder und die ${}1$- Differentialformen gemäß Lemma 16.3. Das gleiche gilt für eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, und Differentialformen auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ lassen sich auf ${}M$ einschränken. Daher kann man auch ein Vektorfeld ${}F$ auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ zu einem Vektorfeld auf ${}M$ zurückziehen: man betrachtet die zugehörige Differentialform auf ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zurückgezogene Differentialform auf ${}M$ und dazu das zugehörige Vektorfeld auf ${}M$. Geometrisch gesprochen wird dabei einem Punkt ${}P\in M$ aber nicht die Richtung ${}F(P)$ zugeordnet, da dieser Vektor im Allgemeinen gar nicht zum Tangentialraum ${}T_{P}M\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}$ gehört. Stattdessen muss man die orthogonale Projektion von ${}F(P)$ auf ${}T_{P}M$ nehmen (hierbei wird also die euklidische Struktur verwendet).

Beispiel

Als Beispiel zu Bemerkung 16.4 betrachten wir den Einheitskreis ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und das konstante Vektorfeld ${}e_{1}$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$, das also jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist ${}dx$, die ${}e_{1}$ auf ${}1$ und ${}e_{2}$ auf ${}0$ abbildet. Die auf ${}S^{1}$ zurückgezogene Differentialform wird ebenfalls mit ${}dx$ bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen Tangentialraum ${}T_{P}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Das zu dieser Differentialform auf ${}S^{1}$ gehörige Vektorfeld ${}H$ berechnet sich nach Lemma 16.3 folgendermaßen: Für jeden Punkt ${}P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in S^{1}$ und jeden Vektor ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\in T_{P}S^{1}$ muss

${}\left\langle H(P),v\right\rangle =dx(P)(v)=v_{1}\,$

gelten, wobei ${}H(P)\in T_{P}S^{1}$ sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von ${}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ aufgespannt. Daher ist ${}v=d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ und

${}H(P)=c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,$

für gewisse ${}d,c\in \mathbb {R}$. Aus der Bedingung

${}\left\langle H(P),v\right\rangle =\left\langle c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}},d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\right\rangle =cd=-bd\,$

folgt direkt ${}c=-b$. Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach

${}H{\left({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)}=-b{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,.$

Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit

Definition

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$- Differentialform

$M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf ${}M$. Wir bezeichnen es mit ${}\lambda _{M}$. Demnach ist ${}\lambda _{M}(M)$ das Gesamtmaß (der Flächeninhalt, das Volumen) von ${}M$.

Lemma

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine orientierte Karte mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$.

Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Gemäß der Definition 15.3 müssen wir die Differentialform ${}{\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt ${}Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt ${}c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf ${}e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist

${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

${}g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$

Nach Satz 7.8 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei ${}M\subseteq G$ eine ${}n$- dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$.

Dann ist ${}\varphi ^{-1}$ eine Karte von ${}M$, und auf ${}W$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für ${}Q\in W$

${}{\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$

da ja der Tangentialraum ${}T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 16.7.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall ${}\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass ${}\varphi$ injektiv und dass das Bild ${}M=\varphi (I)$ von ${}I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Satz 16.8 für die kanonische Form ${}\omega$ von ${}M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$

Somit gilt bei ${}I={]a,b[}$ für das Maß (also die Länge) von ${}M$ die Formel

${}\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$

Dies stimmt mit der in Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.

Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren. Die Bedeutung von ${}g(t)$ ist, auf dem eindimensionalen Tangentialraum des Intervalls zum Punkt ${}t$ ein Skalarprodukt zu definieren. Es ist also

${}\left\langle 1,1\right\rangle _{t}=g(t)\,$

und daher

${}\Vert {1}\Vert _{t}={\sqrt {g(t)}}\,.$

Wenn ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine reguläre stetig differenzierbare Kurve und der ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen ist, so ererbt ${}I$ durch die Abbildung eine solche Metrik durch

${}g(t):=\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle \,.$

Die Länge der Kurve ${}\gamma$ auf ${}[a,b]\subseteq I$ ist nach Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich

${}\int _{a}^{b}\Vert {\gamma '(t)}\Vert dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {g(t)}}dt\,.$

Man kann also die Kurvenlänge auf dem Intervall berechnen, wenn man darauf die infinitesimale Längenmessung kennt. Umgekehrt kann man jede positive Metrik ${}g$ auf ${}I$ über die Funktion

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}\gamma (t):=\int _{0}^{t}{\sqrt {g(s)}}ds\,$

als zurückgezogene Metrik zur Standardmetrik auf ${}\mathbb {R}$ erhalten.

Fußnoten

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