Kurs:Elementare Algebra/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	7	3	4	4	4	4	2	3	7	3	3	2	1	59

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.
2. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
3. Ein Hauptidealbereich.
4. Eine Nebenklasse zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Ein idempotentes Element ${}e$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
6. Das Minimalpolynom eines Elementes ${}x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Lösung

1. Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}b$ den Imaginärteil von ${}z$.
2. Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
3. Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
4. Eine Teilmenge der Form ${}f+I$ mit ${}f\in R$ heißt Nebenklasse.
5. Das Element heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.
6. Das Minimalpolynom von ${}x\in L$ (über ${}K$) ist das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ von minimalem Grad mit ${}P(x)=0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.
2. Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
3. Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches ${}R$.

Lösung

1. Es seien ${}P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

   $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

2. Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
3. Es sei ${}p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
   1. ${}p$ ist ein Primelement.
   2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
   3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Lösung

Es ist

${}x\circ x^{-1}=1\,.$

Damit ist ${}x$ das Inverse zu ${}x^{-1}$. Damit ist

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

alle verschieden sind.

Lösung

Da ${}G$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

$g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$

eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${}g^{-m}$ und erhalten

${}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$

Also ist die Ordnung von ${}g$ maximal gleich ${}n-m$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Lösung

Auf der einen Seite ist

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}=-8+12{\mathrm {i} }+6-{\mathrm {i} }=-2+11{\mathrm {i} }\,$

und

${}(-2-{\mathrm {i} })^{3}=-8-12{\mathrm {i} }+6+{\mathrm {i} }=-2-11{\mathrm {i} }\,,$

die Summe daraus ist ${}-4$. Auf der anderen Seite ist ${}(1+{\mathrm {i} })^{4}=1+4{\mathrm {i} }-6-4{\mathrm {i} }+1=-4$.

Aufgabe (7 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Lösung

Ohne Einschränkung sei ${}a\leq b$. Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit ${}(u,v)$, wobei ${}u$ zwischen ${}0$ und ${}a$ und ${}v$ zwischen ${}0$ und ${}b$ liegt. Es sei ${}r$ der Rest von ${}-b$ bei Division durch ${}a$. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung ${}(u,0)$ durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch ${}(u',0)$ erzielen kann, wobei ${}u'$ den Rest von ${}u+r$ modulo ${}a$ bezeichnet. Wir starten also mit

$(u,0).$

Durch Umschüttung kann man

$(0,u)$

erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man

$(0,u+a)$

erreichen, und ebenso der Reihe nach

$(0,u+2a),\,(0,u+2a),\ldots ,(0,u+ka),$

wobei ${}k$ so gewählt sei, dass

${}u+ka\leq b\,$

und

${}u+(k+1)a>b\,$

sei. Von hier aus erreichen wir

$(a,u+ka).$

Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei ${}m$ die umgefüllte Menge. Diese erfüllt

${}u+ka+m=b\,.$

Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit

${}a-m=a-(b-u-ka)=u+(k+1)a-b\,.$

Diese Menge ist also der Rest von ${}u-b=u+r$ modulo ${}a$, wie behauptet.

Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen (bzw. die Reste davon modulo a).

$(0,0),(r,0),(2r,0),(3r,0),\ldots .$

Da ${}b$ teilerfremd zu ${}a$ ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen ${}n,m$ mit

${}ma-nb=1\,$

(Falls ${}n,m$ negativ sind, betrachtet man einfach ${}(sb+m)a-(sa+n)b=1$ für ein ausreichend großes ${}s$).

Somit ist modulo ${}a$

${}nr\equiv -nb=1-ma=1\,,$

sodass bei Division durch ${}a$ für ein gewisses ${}n$ der Rest von ${}nr$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$.

1. Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1$ und ${}T=X-1$ durch.
2. Finde eine Darstellung der ${}1$ mit diesen beiden Polynomen.

Lösung

1. Es ist

   ${}X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1={\left(X^{n-2}+2X^{n-3}+\cdots +(n-3)X^{2}+(n-2)X+n-1\right)}{\left(X-1\right)}+n\,.$

2. Es ist

   ${}1={\frac {1}{n}}{\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}-{\frac {1}{n}}{\left(X^{n-2}+2X^{n-3}+\cdots +(n-3)X^{2}+(n-2)X+n-1\right)}{\left(X-1\right)}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Lösung

Wir können

${}a<b<c\,$

annehmen. Das Produkt ${}abc$ hat zumindest die Teiler

$1,a,b,c,ab,ac,bc,abd,$

wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen ${}a,b,c$ größer als ${}1$ und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist ${}ac>b$ und ${}bc>a$. Es kann allenfalls

${}c=ab\,$

sein. Es gibt also mindestens ${}7$ Teiler. Wählt man ${}a=2$, ${}b=4$ und ${}c=8$, so ist

${}abc=2\cdot 4\cdot 8=64=2^{6}\,,$

und dies hat in der Tat sieben Teiler.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Lösung

Die Menge sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$.

a) Die zyklische Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}\cdots$	${}n-1$	${}n$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}3$	${}\cdots$	${}n$	${}1$

hat offenbar die Ordnung ${}n$, da zu jedem Element ${}a\in M$ die Potenzen ${}\sigma ^{j}(a)$ für ${}j=0,1,2,\ldots ,n-1$ die Elemente von ${}M$ durchlaufen.

b) Es sei ${}M=\{1,2,\ldots ,5\}$ und betrachte die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}1$	${}4$	${}5$	${}3$

Die Zahlen ${}1$ und ${}2$ sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von ${}\sigma$ mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen ${}3,4$ und ${}5$ sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von ${}3$ ist. Die Ordnung ist also ${}6>5$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?

1. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

2. $(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

3. $(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

4. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

Lösung

1. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Die positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$ bilden mit der Multiplikation eine Gruppe und es gilt

   ${}{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {y}}\,,$

   da die Quadrate davon übereinstimmen.

2. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, allein schon deshalb, weil die Wurzel für negative Zahlen gar nicht definiert ist.
3. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da ${}(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )$ keine Gruppe ist, da ${}0$ kein inverses Element besitzt.
4. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da das neutrale Element links nicht auf das neutrale Element rechts abgebildet wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Lösung

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

${}[x][y]=[xy]\,$

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf ${}G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass ${}[xy]=[x'y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=xh$ und $hy'={\tilde {h}}y=yh'$ mit ${}h,{\tilde {h}},h'\in H$ schreiben. Damit ist

${}x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.$

Somit ist ${}[xy]=[x'y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${}G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

Aufgabe (2 Punkte)

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}&=-5{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{3}-{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{2}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left({\sqrt {2}}^{3}+3{\sqrt {2}}^{2}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {3}}^{3}\right)}-{\left({\sqrt {2}}^{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}^{2}\right)}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(2{\sqrt {2}}+6{\sqrt {3}}+9{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)}-{\left(2+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+3\right)}+2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)}-3-2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-55{\sqrt {2}}-45{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}-3+{\sqrt {5}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{77}}$.

Lösung

Nach Fakt ***** müssen wir die multiplikative Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(77)$ bestimmen. Wegen

${}77=7\cdot 11\,$

ist

${}\mathbb {Z} /(77)\cong \mathbb {Z} /(7)\times \mathbb {Z} /(11)\,.$

Die Ordnung von ${}10=3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist wegen ${}3^{2}=2\neq 1$ und ${}3^{3}=2\cdot 3=6\neq 1$ gleich ${}6$. Die Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(11)$ ist wegen ${}10=-1$ gleich ${}2$. Daher ist die Ordnung von ${}10$ im Ausgangsring gleich ${}6$.

Aufgabe (7 (1+1+5) Punkte)

a) Zeige, dass ${}X^{2}+2$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.

b) Zeige, dass ${}X^{3}+X+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}$

in ${}\mathbb {Z} /(5)(X)$.

Lösung

a) Das Polynom ${}X^{2}+2$ besitzt für ${}0,1,2,3,4$ die Werte ${}2,3,1,1,3$, ist also nullstellenfrei. Nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist es somit irreduzibel.

b) Das Polynom ${}X^{3}+X+1$ besitzt für ${}0,1,2,3,4$ die Werte ${}1,3,1,1,4$, ist also nullstellenfrei und damit wieder irreduzibel.

c) Wir machen den Ansatz

${}{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {aX+b}{X^{2}+2}}+{\frac {cX^{2}+dX+e}{X^{3}+X+1}}\,.$

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

${}{\begin{aligned}1&=(aX+b)(X^{3}+X+1)+(cX^{2}+dX+e)(X^{2}+2)\\&=(a+c)X^{4}+(b+d)X^{3}+(a+e+2c)X^{2}+(a+b+2d)X+b+2e.\end{aligned}}$

Also ist

${}a+c=b+d=a+e+2c=a+b+2d=0\,$

und

${}b+2e=1\,.$

Wir schreiben

${}a=-c\,$

und

${}b=-d\,.$

Einsetzen ergibt

${}e+c=0\,$

und

${}-c+d=0\,.$

Daher ist

${}e+d=0\,$

und

${}-d+2e=1\,,$

was zu

${}3e=1\,,$

also

${}e=3^{-1}=2\,$

führt. Damit ist

${}e=a=b=2\,$

und

${}c=d=3\,.$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {2X+2}{X^{2}+2}}+{\frac {3X^{2}+3X+2}{X^{3}+X+1}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x-5y+7z=-3\,,$

${}-2x+4y+3z=9\,,$

${}x=-2\,.$

Lösung

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten

${}-5y+7z=5\,$

und

${}4y+3z=5\,.$

Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten

${}43z=45\,.$

Somit ist

${}z={\frac {45}{43}}\,$

und

${}y={\frac {5-3z}{4}}={\frac {215-135}{172}}={\frac {80}{172}}={\frac {20}{43}}\,.$

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit

$\left(-2,\,{\frac {20}{43}},\,{\frac {45}{43}}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Lösung

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Satz 20.12 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Satz 20.12 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y={\frac {1}{7}}\,$

gegebenen Geraden.

Lösung

Der Einheitskreis ist durch

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Darin setzen wir

${}y={\frac {1}{7}}\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\frac {1}{49}}=1\,.$

Also ist

${}x^{2}={\frac {48}{49}}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&=\pm {\frac {\sqrt {48}}{7}}\\&=\pm {\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also ${}\left({\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$ und ${}\left(-{\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$.

Aufgabe (1 Punkt)

Finde die primitiven Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Lösung

${}1$ und ${}-1=4$ sind keine primitiven Einheitswurzeln, da ihre Ordnungen ${}1$ bzw. ${}2$ sind. Wegen

${}2^{2}=4\neq 1\,$

und

${}3^{2}=4\neq 1\,$

ist die Ordnung von ${}2$ und von ${}3$ gleich ${}4$, d.h. dass ${}2$ und ${}3$ primitive Einheitswurzeln sind.