Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 50/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Setze in das Polynom die Zahl ein.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Setze in das Polynom die Zahl ein.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
- Berechne das Produkt
im Polynomring .
- Berechne das Produkt
in auf zwei verschiedene Arten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
nicht gelten muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch
definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .
Aufgabe Referenznummer erstellen
a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung
b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Führe in folgende Polynomdivision aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung und seien Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest „ durch “ unerheblich ist, ob man sie in oder in durchführt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vergleiche die Division mit Rest in und in ( ein Körper).
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass
eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem
erfüllen.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
und
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung
mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
- Bestimme ein Polynom vom Grad mit
und
- Bestimme ein normiertes Polynom vom Grad mit
und
- Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge
wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
Den in der vorstehenden Aufgabe eingeführten Körper nennt man den Körper der rationalen Funktionen.
Aufgabe Aufgabe 50.30 ändern
Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und
der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 49.8, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch
(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
- Berechne das Produkt
im Polynomring .
- Berechne das Produkt
in auf zwei verschiedene Arten.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Formel
für ungerade.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
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