Lösung
Lösung
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
Lösung
Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.
Lösung
Berechne
-
Lösung
Nach
dem binomischen Lehrsatz
ist
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit ergibt sich
-
und
-
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
-
und
-
Lösung
Es ist
-
aber
-
Bestimme
(ohne Begründung),
welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen
(inhomogenen)
Gleichungssystems auftreten können
(man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).
-
-
-
-
-
Lösung
2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.
Lösung
Aufgrund des Distributivgesetzes für die Matrizenmultiplikation ist direkt
-
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es seien
und
.
Zeige
-
Lösung
Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle
-
sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.
Die Aussage für
und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung
Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für
ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle
und der Induktionsvoraussetzung
Lösung
Die Untervektorräume des sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form
-
oder
-
mit einem . Die erstgenannte Gerade
(die -Achse)
ist multiplikativ abgeschlossen, da ja
-
wieder dazu gehört. Es sei also
-
Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige das Produkt
-
wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei
-
der Fall, also bei
-
was
oder
bedeutet. Es sind also auch noch die -Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.
Lösung
Die Bedingung
-
bedeutet ausgeschrieben
-
-
-
-
Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind
und
.
Aus der zweiten Gleichung folgt nach
Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
dass es ein gibt mit
-
und
-
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
-
und somit
-
und
-
und
-
Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein gibt mit
-
und
-
Aus der vierten Gleichung ergibt sich
-
und somit
-
und
-
und
-
Somit ist
Lösung
Wir betrachten die Gesamtabbildung
-
Unter dieser Abbildung wird der Vektor auf den Standardvektor im abgebildet. Da diese linear unabhängig sind, müssen auch die linear unabhängig sein.
Lösung
Die Transposition vertausche die beiden Zahlen . Dann ist
Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, sodass sich diese
(wegen der gleichen Indexmenge)
Minuszeichen wegkürzen.
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung
-
Lösung
Aus der Matrix kann man direkt die drei Eigenwerte ablesen. Daher ist die Matrix diagonalisierbar und die Eigenräume sind eindimensional.
Es ist
-
und der zugehörige Eigenraum ist
-
Es ist
-
es ist ein Element des Kernes und somit ist
der zugehörige Eigenraum
-
Es ist
-
es ist ein Element des Kernes und somit ist
der zugehörige Eigenraum
-
Lösung
Es sei zunächst
ein invarianter Untervektorraum der Dimension . Wir wählen eine Basis von und ergänzen sie zu einer Basis von . Wegen der Invarianz ist
-
für
,
also
-
für
.
Daher sind in der beschreibenden Matrix von bezüglich dieser Matrix in den ersten Spalten und den unteren Zeilen die Einträge .
Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass
-
für
gilt. Dies bedeutet, dass
-
auf sich selbst abgebildet wird, und damit ist ein -dimensionaler invarianter Untervektorraum gefunden.
Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.
Lösung
Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
-
Dies ist ein
Ideal
von , wie man direkt überprüft. Nach
Fakt *****
ist dieses Ideal ein
Hauptideal,
also
-
mit einem gewissen Polynom . Es ist ein gemeinsamer Teiler der . Wegen
ist nämlich
-
d.h. ist ein Teiler von jedem . Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
-
für alle und damit auch
-
Also ist
-
Da nach Voraussetzung den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss
eine Konstante sein. Also ist
-
und insbesondere
.
Also ist eine Linearkombination der .
Es sei
-
eine
Jordan-Matrix.
Bestimme die
jordansche Normalform
der Potenzen für alle
.
Lösung