Lösung
- Das Bild von
ist die Menge
-
- Unter einem Vektorraum
über
versteht man eine Menge
mit einem ausgezeichneten Element
und mit zwei Abbildungen
-
und
-
derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind
(dabei seien
und
beliebig):
,
,
,
- Zu jedem
gibt es ein
mit
,
,
,
,
.
- Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
- Vertauschung von zwei Zeilen.
- Multiplikation einer Zeile mit
.
- Addition des
-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
- Eine Transposition auf
ist eine
Permutation
auf
, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
- Man nennt
-

den
Hauptraum
zu
zum Eigenwert
.
- Unter einer
Jordanmatrix
(zum Eigenwert
)
versteht man eine quadratische Matrix der Form
-
Lösung
- Es sei
ein Körper und
ein
-Vektorraum mit einer Basis
. Es sei
ein Vektor mit einer Darstellung
-

wobei
sei für ein bestimmtes
. Dann ist auch die Familie
-
eine Basis von
.
- Es sei
ein Körper und
. Dann gilt für Matrizen
die Beziehung
-

- Folgende Aussagen sind äquivalent.
ist
trigonalisierbar.
- Es gibt eine
-invariante Fahne.
- Das
charakteristische Polynom
zerfällt in
Linearfaktoren.
- Das
Minimalpolynom
zerfällt in
Linearfaktoren.
Aufgabe (6 (2+4) Punkte)
Es sei
-
eine Abbildung.
a) Zeige, dass es eine Menge
gibt und eine surjektive Abbildung
-
und eine injektive Abbildung
-
mit
-

b) Zeige, dass es eine Menge
gibt und eine injektive Abbildung
-
und eine surjektive Abbildung
-
mit
-

Lösung
a) Es sei
das Bild von
unter der Abbildung
. Wegen
-

ist
eine Teilmenge von
. Die Abbildung, die ein Element
auf sich selbst aber als Element in
auffasst, nennen wir
. Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung
-
ist wohldefiniert, da
zu
gehört, und surjektiv, da
genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar
-

b) Es sei
-

Wir betrachten die Abbildung
-
Diese ist injektiv, da aus
-

folgt, dass
-

ist. Die Abbildung
sei durch
-
gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass
nicht leer ist. Insgesamt ist
-

und somit
-

Falls
leer ist, so ist
die sogenannte leere Abbildung und man kann
,
und
nehmen.
Lösung
Beweise das Basisaustauschlemma.
Lösung
Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen
-
und

den Vektor

als
-
schreiben. Sei nun
beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung
an. Es sei
-
eine Darstellung der Null. Dann ist
-

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere

, und wegen

ergibt sich

. Deshalb ist

und daher gilt

für alle

.
Lösung
Aufgabe (6 (2+4) Punkte)
Lösung
a) Bei einer linearen Abbildung ist
, also ist
. Seien
. Dann ist
, also
. Für
und
ist schließlich
-

also
. Damit ist der Kern ein Untervektorraum von
.
b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
-

Daher ist
und damit
.
Lösung
Es sei
und es sei
-
die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung
-
das Paar
auf
abgebildet. Das Paar
wird auf
-

abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.
Lösung
Lösung
Wenn
ein Vielfaches von
ist, so kann man
-

mit einem weiteren Polynom
schreiben. Einsetzen ergibt
-

Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
-

wobei
oder aber den Grad
besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
-

Wenn also
ist, so muss der Rest
sein, und das bedeutet, dass
ist.
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable
durch die
-Matrix
-
ersetzt.
Lösung
Es ist
-

und
-

Daher ist

Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)
Wir betrachten die lineare Abbildung
-
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
-

beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von
.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für
bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
Lösung
a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von
sind
.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
-
bestimmen. Da gehört
dazu.
:
Dies führt auf
-
Wir wählen
und
und erhalten
, also ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
:
Dies führt auf
-
Mit
und
ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
-
und daher ist
-

Daher ist
-

Somit ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert

.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
-
Es sei
ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
-
eine
lineare Abbildung. Zeige, dass die durch
-
definierte Teilmenge von

ein

-
invarianter Unterraum
ist.
Lösung
Man gebe ein Beispiel für zwei
nilpotente lineare Abbildungen
-
derart, dass weder
noch
nilpotent sind.
Lösung
Es sei
-

und
-

Wegen
-

und
-

sind beide Matrizen nilpotent. Dagegen ist
-

wegen
-

nicht nilpotent und
-

ist bijektiv, also auch nicht nilpotent.
Bestimme zur reellen Matrix
-

die
jordansche Normalform.
(Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)
Lösung