Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 6 | 2 | 4 | 3 | 2 | 7 | 3 | 4 | 3 | 10 | 3 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
- Die Summe von Untervektorräumen in einem Vektorraum .
- Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
- Die duale Abbildung zu einer
linearen Abbildung
zwischen - Vektorräumen und .
- Ein Zykel der Ordnung auf .
- Eine nilpotente - Matrix über .
- Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
- Die
Summe dieser Untervektorräume
ist durch
gegeben.
- Sei
Dann heißt
die Spur von .
- Die
Abbildung
heißt die duale Abbildung zu .
- Eine Permutation auf heißt Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht
- Eine
quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl gibt derart, dass das -te
Matrixprodukt
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Basiswechsel.
- Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
- Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
- Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
zwei
Basen
von . Es sei
mit den Koeffizienten , die wir zur - Matrix
zusammenfassen. Dann hat ein Vektor , der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt, bezüglich der Basis die Koordinaten
- Es sei eine endliche Menge mit Elementen. Dann besitzt die Permutationsgruppe genau Elemente.
- Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Aufgabe (3 Punkte)
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
Lösung Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)
Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.
- Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
- Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
- Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
- Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.
- Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
- In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von
Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.
- In den Sekunden legt der Zug
Meter zurück.
- Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt
Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls
Meter.
Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)
Wir betrachten Matrizen der Form
- Berechne
- Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
- Bestimme die Determinante von .
- Man gebe eine Matrix der Form
an, die nicht invertierbar ist.
- Sei
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
- Es ist
- Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Wenn man oben die Reihenfolge vertauscht, ergibt sich als Eintrag links oben und nicht .
- Die Determinante von ist gleich .
- Die Matrix
ist nicht invertierbar, da die erste und die dritte Zeile übereinstimmen.
- Es sei invertierbar. Dann ist zunächst
.
Ferner ist
,
da die Determinante gleich ist.
Es ist
Somit ist
die inverse Matrix und diese ist wieder von diesem Typ.
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Basisergänzungssatz.
Es sei eine Basis von . Aufgrund des Austauschsatzes findet man Vektoren aus der Basis , die zusammen mit den vorgegebenen eine Basis von bilden.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Quadratabbildung
für verschiedene Körper .
- Ist linear für
- Ist linear für
dem Körper mit zwei Elementen.
- Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?
- Es ist
somit ist auf nicht linear.
- Für den Körper mit zwei Elementen ist und . Also ist die Identität und somit linear.
- Es ist
daher erfüllt die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes
In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung
erfüllen.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei
eine multilineare Abbildung. Es seien . Ziehe in
Summen und Skalare nach außen.
Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt Es ist
Aufgabe (2 Punkte)
Es ist
und
Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
b) Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeige, dass
ist.
a) Es ist
b) Nach Konstruktion ist
da dies die -te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
c) Mit der Leibniz-Formel ist
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
nicht , da sonst immer mindestens ein Faktor gleich ist. Also ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine Nullstelle von ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal . Da ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) besitzt somit maximal Nullstellen, und daher gibt es maximal Schnittpunkte.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist
genau dann, wenn die lineare Abbildung
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Lemma 12.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))). Dies ist nach Lemma 22.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) äquivalent zu
was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass das Polynom für unendlich viele reelle - Matrizen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom ist.
Wir betrachten Matrizen vom Typ
für . Das charakteristische Polynom davon ist
Das Minimalpolynom muss ein Teiler des charakteristischen Polynoms sein. Da keine reelle Nullstellen besitzt, gibt es keine Linearfaktoren und das Minimalpolynom ist ebenfalls .
Aufgabe (10 Punkte)
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
Wir fassen die Matrix als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper liegen. Die adjungierte Matrix
liegt ebenfalls in . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von -Untermatrizen von . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
mit Matrizen
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von aufteilen, dann ist
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit und erhalten das Gleichungssystem
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir , da jeder Teilsummand einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
- Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
- Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
- Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
- Die Streckung mit dem Faktor .
- Da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, wird dieser bei dieser Achsenspiegelung bewegt, daher ist die Abbildung nicht linear.
- Eine solche Scherung ist linear und trigonalisierbar, da sie bereits in oberer Dreiecksform vorliegt. Sie ist nicht diagonalisierbar, da der einzige Eigenwert die geometrische Vielfachheit besitzt.
- Die Punktspiegelung am Ursprung ist die Abbildung , sie ist also linear und diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
- Jede Streckung ist linear und diagonalisierbar.
Aufgabe (3 Punkte)
Der Richtungsvektor gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen und . Daher machen wir den Ansatz
Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung
also ist und . Somit ist
die gesuchte affine Abbildung.