Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
- Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung.
- Der Sylvestersche Trägheitssatz über eine symmetrische Bilinearform.
- Der Banachsche Fixpunktsatz.
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
-
über .
Eine Stammfunktion ist
-
Daher ist das bestimmte Integral gleich
Bestimme eine Stammfunktion von
-
mittels Partialbruchzerlegung.
Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt
-
und daher ist
-
Eine Stammfunktion ist also
-
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
-
mit
und .
Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen
-
davon ist
-
eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls
-
Wir setzen weiter
-
Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
-
Daraus ergibt sich die Bedingung
-
und daraus
-
Also ist
-
eine Stammfunktion von . Daher ist
-
eine Lösung, die für
definiert ist und für die
gilt.
Es sei
-
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
-
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
Es sei eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion . Nach Voraussetzung existiert
-
Der Wert des uneigentlichen Integrals ist
-
Durch Addition einer Konstanten können wir annehmen.
Zu jedem ist
-
und wegen der Monotonie ist
-
Für konvergiert das rechte Integral gegen und das linke Integral gegen . Daher gibt es zu jedem ein mit
-
für alle .
Die Umkehrfunktion besitzt die Stammfunktion
-
Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für einen Limes besitzt. Für gilt und somit ist wegen der Stetigkeit
-
Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für besitzt. Dazu sei und sei wie oben gewählt. Da fallend
(und bijektiv)
ist, gibt es ein mit . Daher gelten für alle
(mit )
die Abschätzungen
-
Daher ist
-
und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist
Wir betrachten die differenzierbare Kurve
-
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung
-
gilt.
b) Die Unterteilungspunkte sind
-
Der Sinus hat dabei folgende Werte:
-
Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus
-
und der Kreisgleichung
.
Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.
Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und ,
deren Länge ist also
Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und ,
deren Länge ist also
Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich
-
c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich
-
Wegen ist und daher ist . Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt
-
Also ist
-
Wir haben nach Voraussetzung
(wobei wir
setzen)
-
und
-
mit linearen Abbildungen
und
,
und mit in stetigen Funktionen
und
,
die beide in den Wert annehmen. Damit gilt
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
-
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für
.
Der Ausdruck
-
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand ist in
stetig und hat dort auch den Wert . Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der -Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da auf der
kompakten
Einheitssphäre
nach Satz 22.4
beschränkt ist und da in stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber hat für den Grenzwert . Damit ist auch in stetig und hat dort den Grenzwert .
Man gebe ein Beispiel einer Funktion
-
das zeigt, dass im Satz über die
(lokale)
Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.
Wir betrachten die Abbildung
-
(es ist also ).
a) Berechne die
partiellen Ableitungen
von und stelle den
Gradienten
zu auf.
b) Bestimme die
isolierten
lokalen Extrema
von .
a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind
-
-
und
-
Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor
-
b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , so dass es kein isoliertes Extremum gibt.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Die partiellen Ableitungen der Funktion sind
-
und
-
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus
-
folgt sofort
-
also und daraus
-
Es kann also allenfalls im Punkt
-
ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
-
Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.
Löse das
lineare Anfangswertproblem
-
Aus der zweiten Zeile folgt sofort
-
wobei die Anfangsbedingung
durch
erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
-
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
-
ergibt sich die Bedingung
-
Also ist
mit einer Konstanten
.
Aus
-
folgt
.
Die Lösung ist also
-
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