Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
- Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung.
- Der Sylvestersche Trägheitssatz über eine symmetrische Bilinearform.
- Der Banachsche Fixpunktsatz.
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
-
über
.
Eine Stammfunktion ist
-
Daher ist das bestimmte Integral gleich

Bestimme eine Stammfunktion von
-
mittels Partialbruchzerlegung.
Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt
-

und daher ist
-

Eine Stammfunktion ist also
-
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
-
mit
und
.
Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen
-

davon ist
-

eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls
-

Wir setzen weiter
-

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
-

Daraus ergibt sich die Bedingung
-

und daraus
-

Also ist
-

eine Stammfunktion von
. Daher ist
-

eine Lösung, die für
definiert ist und für die
gilt.
Es sei
-
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
-
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
Es sei
eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion
. Nach Voraussetzung existiert
-
Der Wert des uneigentlichen Integrals ist
-

Durch Addition einer Konstanten können wir
annehmen.
Zu jedem
ist
-

und wegen der Monotonie ist
-

Für
konvergiert das rechte Integral gegen
und das linke Integral gegen
. Daher gibt es zu jedem
ein
mit
-

für alle
.
Die Umkehrfunktion
besitzt die Stammfunktion
-
Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für
einen Limes besitzt. Für
gilt
und somit ist wegen der Stetigkeit
-
Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für
besitzt. Dazu sei
und sei
wie oben gewählt. Da
fallend
(und bijektiv)
ist, gibt es ein
mit
. Daher gelten für alle
(mit
)
die Abschätzungen
-

Daher ist
-

und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist

Wir betrachten die differenzierbare Kurve
-
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge
dieser Kurve die Abschätzung
-

gilt.
b) Die Unterteilungspunkte sind
-
Der Sinus hat dabei folgende Werte:
-
Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus
-

und der Kreisgleichung
.
Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.
Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und
,
deren Länge ist also

Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und
,
deren Länge ist also

Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich
-
c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich
-

Wegen
ist
und daher ist
. Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt
-

Also ist
-

Wir haben nach Voraussetzung
(wobei wir
setzen)
-

und
-

mit linearen Abbildungen
und
,
und mit in
stetigen Funktionen
und
,
die beide in
den Wert
annehmen. Damit gilt

Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
-

eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für
.
Der Ausdruck
-

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand
ist in
stetig und hat dort auch den Wert
. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der
-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da
auf der
kompakten
Einheitssphäre
nach Satz 22.4
beschränkt ist und da
in
stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber
hat für
den Grenzwert
. Damit ist auch
in
stetig und hat dort den Grenzwert
.
Man gebe ein Beispiel einer Funktion
-
das zeigt, dass im Satz über die
(lokale)
Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.
Wir betrachten die Abbildung
-
(es ist also
).
a) Berechne die
partiellen Ableitungen
von
und stelle den
Gradienten
zu
auf.
b) Bestimme die
isolierten
lokalen Extrema
von
.
a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von
ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind
-

-

und
-

Der Gradient zu
in einem Punkt
ist demnach der Vektor
-

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient
ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei
der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls
und wegen
folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass
sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form
geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert
, so dass es kein isoliertes Extremum gibt.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Die partiellen Ableitungen der Funktion
sind
-

und
-

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient
ist. Aus
-
folgt sofort
-
also
und daraus
-
Es kann also allenfalls im Punkt
-

ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
-
Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in
ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.
Löse das
lineare Anfangswertproblem
-
Aus der zweiten Zeile folgt sofort
-

wobei die Anfangsbedingung
durch
erfüllt wird. Für
ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
-
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen
. Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
-

ergibt sich die Bedingung
-

Also ist
mit einer Konstanten
.
Aus
-

folgt
.
Die Lösung ist also
-

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