Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität

Einleitung

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Diese Lernresource Wiki2Reveal-Foliensatz zunächst der Zusammenhang zwischen der lokalen Beschränktheit der Topologie und Quasinormen bzw.  -Normen hergestellt.


Lokale Beschränktheit der Topologie

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Die lokale Beschränktheit der Topologie ist eine topologische Eigenschaft, die über das System   der offenen Mengen ausgedrückt wird. Mit offenen Mengen im Kontext der Algebrerweiterungen zu arbeiten ist aber ist aber sehr aufwändig. Daher geht man zu einem topologieerzeugenden Gaugefunktional  -Norm bzw. Quasinorm.

Zusammenhang - Lokale Beschränktheit - p-Norm - Quasinorm

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Wenn man nachgewiesen hat, dass die lokale Beschränkheit äquivalent zu der  -Normierbarkeit der Topologie ist, wird man die  -Regularität analog zum Vorgehen bei Banachalgebren bzgl. der Konstruktion der Algebraerweiterungen nach Arens (1958)[1] durchführen können.

Zusammenhang - p-Norm - Quasinorm

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Die lokale Beschränkheit ist zudem auch äquivalent zu der Quasinormierbarkeit der Topologie. Damit kann nun auch einen alternativen Beweis für die Algebraerweiterungen mit Quasinorm analog durchführen. Die Quasihalbnormen haben allerdings erst bei der Behandlung der Charakterisierung von PC-regulären Elementen in pseudokonvexen Räumen eine besondere Bedeutung.

Charakterisierung der P-Regularität

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Für kommutative lokalbeschränkte Algebren erhält man folgende Charakterisierung:

  •   permanent singulär     (topologischer Nullteiler)
  •    -regulär   es gibt ein   mit   für alle  

Dabei ist   eine  -Norm bzw. eine Quasinorm.


Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

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P-Regularität über p-Normen bzw. Quasinorm

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Mit dieser Äquivalenz von p-Normierbarkeit, lokaler Beschränktheit der Topologie und Quasinormierbeit kann man die Charakterisierung der  -Regularität aus Wegen erhalten.

Topologisierung der Polynomalgebra

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Ein wesentlicher Schritt für den Beweis des  -Regularität auf pseudokonvexen Räumen, bei den die  -Halbnormen nicht multiplikativ sind, ist der Zusammenhang zwischen einer  -Halbnorm und einer Quasihalbnorm, da dieser Zusammenhang für eine einzelne  -Norm und der korrespondierenden Halbnorm gezeigt wird, werden wir hier nicht den Beweis  -Regularität für lokal beschränkte bzw.  -normierbare Räume direkt führen, sondern den Beweis direkt für korrespondierende Quasinorm führen. Später wird dann das Systems der topologieerzeugenden  -Halbnormen durch ein System von Quasihalbnormen ersetzt und für diese System die Algebraerweiterung konstruiert.

Bemerkung: Polynomalgebren

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Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung, in der ein   invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome   betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung   über die Polynomalgebra konstruiert wird.

 

Bemerkung: Zusammenhang zwischen p-Norm und Quasinorm

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Der Beweis für einen  -normierbaren Raum kann analog zur Banachalgebraerweiterungen der  -Regularität (nach Arens 1958[1]) geführt werden.

Der Beweis für den Zusammenhang  -Norm   und einer Quasihalbnorm   findet man bei Köthe (1966)[2]

Bemerkung zum Satz über die Quasinormierbarkeit

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Ein wesentlicher Teil des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen nach Köthe[2] ist der Zusammenhang, zwischen eine lokalbeschränkten Topologie   auf einem Vektorraum und der Quasinormierbarkeit des Raumes.

Bemerkung zum Satz über die p-Normierbarkeit

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Der zweite Teil für den Nachweis des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen liefert der Zusammenhang, dass jede lokalbeschränkte Topologie   auf einem Vektorraum auch durch ein  -Norm erzeugt werden kann.

Aufgabe für Studierende

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Sei   eine topologische Algebra, für die die Topologie durch eine  -Norm   erzeugt wird.

  • (Topologische Nullteiler) Formulieren Sie ein äquivalentes Kriterium für   über die  -Norm.
  • (Homogenität der Norm) Analysieren Sie die Charakterisierung der  -Regularität mit   bzw.   und identifizieren die Stellen, an denen die Homogenität der Norm verwendet die allgemeinere Eigenschaft der  -Homogenität ersetzen werden muss?

Definition: Lokalbeschränkt

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Sei   ein topologischer Vektorraum. Eine Menge   heißt beschränkt, falls gilt:

 

  heißt lokalbeschränkt, falls es eine beschränkte Nullumgebung gibt.

Aufgabe für Studierende

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Betrachten Sie, den topologische Algebra der stetigen Funktionen   mit den Maximumshalbnormen

 

Mit dem Halbnormensystem   ist   eine lokalkonvexer Vektorraum.

  • Zeigen Sie mit dem Topologisierungslemma, dass   eine topologische Algebra mit Multiplikation   und   für   ist.
  • Zeigen Sie, dass   nicht lokalbeschränkt ist (Beweis durch Widerspruch).

Hinweis zur Aufgabe

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  • Nehmen Sie an, dass die  -Umgebung   lokal beschränkt ist. Dabei sei  
  • Dann verwenden Sie die Funktionenfolge   mit folgender Eigenschaft:
 

Aufgaben - Mengeninklusion

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  • Zeigen Sie mit den Definitionen von  -Umgebung  , dass für alle   die Teilmengenbeziehung   gilt!
  • Beschreiben Sie, welche Funktionen in   liegen!

Zeichnen der Funktionsgraphen

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  • Zeichnen Sie die Funktionen und erläutern Sie, dass für alle   die Bedingung   gilt.
  • Ferner gibt es für alle   eine Funktion  , die nicht in und erläutern Sie, dass für alle   die Bedingung   gilt und damit die Bedingung  .

Satz: Quasinormierbarkeit

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Die Topologie eines topologischen Vektorraums   kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn   lokalbeschränkt ist.

siehe Satz - Quasinormierbarkeit

Zusammenhang Minkowski-Funktionale und absolut p-konvex Menge

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Wenn eine Menge   eine absolut p-konvexe Teilmenge eines Vektorraums   ist, dann ist das zugehörige Minkowski-Funktional   ein  -Gaugefunktional mit  , das zusätzlich die Dreiecksungleichung für alle   erfüllt

 

Aus diesem Grund wird für die  -Regularität wird der Begriff eine absolute  -konvexen Mengen als Verallgemeinerung von konvexen Mengen und einer konvexen Mengen benötigt.

Definition: absolut p-konvex

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Sei   eine Teilmenge eines Vektorraums   und  , dann heißt   absolut  -konvex, wenn gilt

 

Definition: absolut p-konvexe Hülle

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Die absolut  -konvexe Hülle der Menge   (Bezeichnung:  ) ist der Schnitt über alle absolut  -konvexen Mengen, die   enthalten.

 

Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle

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Sei   eine Teilmenge eines Vektorraums   über dem Kör\-per   und  , dann läßt sich die absolut  -konvexe Hülle von   wie folgt schreiben:

 

Beweisidee

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Der vollständige Beweis werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2)   liefert und (3) die Teilmengenbeziehung  .

  • (Beweisteil 1)  ,
  • (Beweisteil 2)   ist absolut  -konvex und
  • (Beweisteil 3)   ist in jeder absolut  -konvexen Menge   enthalten. Für den vollständigen Beweis siehe p-konvexe Hülle.

Satz: p-Normbierbarkeit der Topologie

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Ein topologischer Vektorraum   ist genau dann  -normierbar, wenn dieser eine  -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit  .

siehe Satz über die p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräume.

Korrespondenzsatz für p-Normen und Quasinormen

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Die Topologie eines  -normierbaren topologischen Vektorraums   kann durch eine Quasinorm erzeugt werden.

Jeder  -normierbare topologische Vektorraum ist lokal beschränkt und auch jeder Raum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man

 .

Damit sind die drei Begriffe äquivalent für die Eigenschaft der Topologie und man kann für jede  -Norm eine korrespondierende Quasinorm finden, die die gleiche Topologie   auf   erzeugt.  .

Zusammenhang von p in der p-Norm und der Stetigkeitskonstante

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Umgekehrt soll nun gezeigt werden, dass jeder lokalbeschränkte Raum für ein geeignet gewähltes   auch  -normierbar ist. Zunächst noch eine Definition die im Zusammenhang mit der Stetigkeitskonstanten der Addition einer Quasinorm steht. Der folgende Beweis zeigt, wie man dieses   identifiziert (siehe Köthe[2]).

Definition: Konkavitätsmodul

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Sei   ein lokalbeschränkter topologischer Vektorraum und   eine beschränkte Nullumgebung, dann heißt

  •   Konkavitätsmodul der Nullumgebung   und
  •   Konkavitätsmodul der Topologie  .

Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume

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Ist   der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum  , so gibt es zu jedem   eine topologieerzeugende  -Norm auf  .

Bemerkung

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Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung   mit   "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus   wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung   liegen.

siehe Satz zum Konkavitätsmodul in lokalbeschränkten Algebren.

Zusammenfassung Korrespondenzsatz

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Ein topologischer Vektorraum   ist genau dann quasinormierbar (d.h. es gibt eine Quasinorm, die die Topologie auf   erzeugt), wenn    -normierbar ist. In den obigen Beweisen wurde allerdings noch nicht berücksichtigt, dass für die  -Regularität auch die Multiplikation stetig sein muss. Dieses erfolgt nun.

Stetigkeit der Multiplikation in der Algebra

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Allgemein gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra   auch für jede Nullumgebung und damit auch für die beschränkte Nullumgebung   ein Nullumgebung   mit  .

Lokalbeschränkte Topologie

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Da   eine Umgebungsbasis der Topologie darstellt, gibt es   mit   und man erhält:

 

Anwendung auf Quasinormen 1

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Wendet man diese Mengeninklusion auf die Quasinorm   als Minkowski-Funktional der lokalbeschränkten kreisförmigen Nullumgebung an, gilt für alle  

 

und man erhält mit  

 

Anwendung auf Quasinormen 2

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Die Eigenschaft der Homogenität der Quasinorm liefert dann

 

Da die obige Ungleichung für alle   gilt, erhält man ebenfalls

 

Stetigkeitskonstante der Multiplikation

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Der Faktor   ist hier die Stetigkeitskonstante der Multiplikation, die neben der Konstante   aus der Negation der Definition eines topologischen Nullteilers ebenfalls für die Topologisierung der Polynomalgebra   berücksichtigt werden muss.

Anwendung auf Quasinormen 3

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Die Ungleichung wurde für  . Falls   oder   gilt, ist die Ungleichung sogar eine Gleichheit mit

 

Aufgabe für Studierende

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  • Zeigen Sie die obigen Ungleichung für die korrespondierende  -Norm   zur Quasinorm .
  • Erläutern Sie, wie Sie mit der  -Homogenität beim Nachweis der Ungleichung für   umgehen müssen, damit Sie eine ähnliche Ungleichung erhalten.
  • Bestimmen Sie für   die Stetigkeitskonstante   der Multiplikation mit:
 

Siehe auch

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Quellennachweis

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  1. 1,0 1,1 Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548
  2. 2,0 2,1 2,2 Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.

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