- Der Satz über die injektive Abbildung
Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist.
Es sei
und
.
Es sei
das
Bild
des totalen Differentials . Nach
Satz Anhang.1 (1)
ist
ein
Untervektorraum
der Dimension
.
Wir
ergänzen
eine
Basis
von durch zu einer Basis von und setzen
.
Wir betrachten die Abbildung
-
wobei links und rechts zwei -dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die
Hintereinanderschaltung
-
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung
stetig differenzierbar
und das totale Differential ist , wobei
die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist
surjektiv
im Punkt , da sowohl als auch zum Bild gehören, und somit
bijektiv.
Wir können also
den Satz über die Umkehrabbildung
anwenden und erhalten
offene Mengen
und
derart, dass ein
Diffeomorphismus
zwischen
und
ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form
mit
und
.
Dann ist die Abbildung
-
injektiv,
da dies die
Hintereinanderschaltung
-
mit ist.
- Lipschitz-Bedingungen
Wir kehren zu Differentialgleichungen zurück und wollen den Satz von Picard-Lindelöf beweisen, einen wichtigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen. Dafür wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine
reelle Zahl
mit
-
für alle
und
gibt.
Die reelle Zahl nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld .
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt
eine offene Umgebung
-
derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer
Lipschitz-Bedingung
genügt.
Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Es sei
ein
reelles
offenes Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf derart, dass die
partiellen Ableitungen
nach existieren und
stetig
sind.
Dann genügt
lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Sei
ein Punkt in
und sei
-
eine offene Umgebung von
innerhalb von
derart, dass auch
-
ist. Dieses ist eine
abgeschlossene Umgebung
von und daher
kompakt.
Da die partiellen Ableitungen nach Voraussetzung
stetig
sind, gibt es nach
Satz 36.12
eine gemeinsame Schranke
mit
-
für alle
.
Daher gibt es für die Matrizen eine Schranke mit
-
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt
Lemma 51.2
anwenden und erhält für
die Abschätzung
-
- Abbildungsräume und Supremumsnorm
Wir stellen noch einige funktionalanalytische Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit. Wir verallgemeinern den Begriff der punktweisen
(gleichmäßigen)
Konvergenz von Funktionenfolgen auf metrische Räume.
Es seien
und
metrische Räume und es sei
-
eine Folge von
stetigen Abbildungen,
die
gleichmäßig
gegen die Abbildung konvergiert.
Dann ist stetig.
Es sei
und
vorgegeben. Aufgrund der
gleichmäßigen Konvergenz
gibt es ein mit
für alle
und alle
.
Wegen der
Stetigkeit
von in gibt es ein
mit
für alle
mit
.
Für diese gilt somit
Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.
Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also eine Menge und sei ein
euklidischer Vektorraum.
In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung
-
-
und nennt dies das Supremum
(oder die Supremumsnorm)
von
(falls das Supremum nicht existiert, ist dies als zu interpretieren).
Wir setzen
;
dies ist ein
(i.A. unendlichdimensionaler)
reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften
(die geeignet zu interpretieren sind, falls auftritt).
- Es ist
für alle
.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
- Für
und
gilt
-
- Für
gilt
-
Wenn ein
metrischer Raum
ist, so betrachtet man
-
Dieser ist ein reeller Untervektorraum von . Wenn
nichtleer,
abgeschlossen
und
beschränkt
ist, so ist nach
Satz 36.12
das Supremum von
, ,
gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein
derart, dass
für alle
gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der Maximumsnorm.
Es sei
-
eine
Cauchy-Folge
von
stetigen Abbildungen.
Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine
Grenzabbildung
konvergiert,
die ebenfalls stetig ist. Zu jedem
gibt es ein
derart, dass für
die Beziehung
-
für alle
}
gilt. Daher ist für jedes
die
Folge
eine
Cauchy-Folge
in und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in . Wir nennen den Grenzwert dieser Folge , sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung
-
ergibt, gegen die die Funktionenfolge
punktweise konvergiert.
Da eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen
stets ein derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle
gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar
gleichmäßig
gegen
(und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm).
Aufgrund von
Lemma 55.8
ist daher
stetig
und daher ist
.