Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Mengenalgebra auf einer Menge
.
- Eine Borelmenge in einem topologischen Raum
.
- Eine messbare Abbildung
-
zwischen zwei
Messräumen
und
.
- Eine Ausschöpfung einer Menge
.
- Ein Maß auf einem Messraum
(ohne Bezug auf ein Prämaß).
- Ein translationsinvariantes Maß auf
.
- Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion
auf einem
-
endlichen Maßraum
.
- Der Limes inferior zu einer reellen Folge
.
- Ein
Teilmengensystem
auf einer Menge
heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
gehört auch das Komplement
zu
.
- Für je zwei Mengen
ist auch
.
- Es sei
ein
topologischer Raum.
Dann nennt man die von
erzeugte
-
Algebra
die Menge der Borel-Mengen von
.
- Die Abbildung
heißt messbar, wenn für jede messbare Menge
das Urbild
messbar ist.
- Eine Folge von Teilmengen
,
,
in
mit
für alle
heißt Ausschöpfung von
, wenn
gilt.
- Es sei
eine Menge und
eine
-
Algebra
auf
. Dann heißt eine
Abbildung
-
ein Maß auf
, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede
abzählbare Familie
von
paarweise disjunkten
Teilmengen
,
,
aus
gilt
-

- Ein
Maß
auf
heißt translationsinvariant, wenn für alle
messbaren Teilmengen
und alle Vektoren
die Gleichheit
-

gilt.
- Es sei
ein
-endlicher Maßraum und
-
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt
-

das Integral von
über
(zum Maß
).
- Es sei
die Menge der
Häufungspunkte
der Folge
. Dann nennt man
-
(eventuell
)
den Limes inferior der Folge.
- Es sei
ein
Messraum
und es sei
ein
durchschnittsstabiles Erzeugendensystem
für
.
Es seien
und
zwei
Maße
auf
, die auf
übereinstimmen. Es gebe eine
Ausschöpfung
mit
und mit
. Dann ist
-

- Es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann gilt für jede
messbare Menge
die Beziehung
-

- Es sei
ein
-endlicher Maßraum und es sei
-
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
-
mit
für alle
und alle
. Dann ist auch die
Grenzfunktion
integrierbar, und es gilt
-

- Für jede
messbare Teilmenge
gilt die Beziehung
-

Es sei
ein
topologischer Raum
und sei
die davon erzeugte
Mengenalgebra.
Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
-
mit offenen Mengen
und abgeschlossenen Mengen
besteht.
Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra
müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu
.
Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge
kann man als
schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da
selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum
von der angegebenen Form. Es sei eine Menge
-
gegeben. Ihr Komplement ist

Hierbei sind die
jeweils abgeschlossen und die
jeweils offen, so dass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.
Die Vereinigung von zwei Mengen in der angegebenen Form ist offensichtlich wieder von dieser Form.
a) Wenn
leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei
-
surjektiv. Dann ist

eine Ausschöpfung von

mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.
b) Das Produktmaß auf
ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern
zu Seiten
und
mit endlichem Maß das Produkt
als Wert besitzt. Für einen Punkt
ist
und daher ist
-

Wegen der Abzählbarkeit von

ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
-
im
erzeugten Parallelotops.
Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung. Nach
Satz 67.2
ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten
-
Daher ist
-

Das Volumen ist also
.
Es sei
ein
Messraum
und
eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion
-
messbar ist.
Wir schreiben die Funktion
als Hintereinanderschaltung
-
Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist sie auch messbar und da die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar ist, ergibt sich die Messbarkeit von
.
Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
-
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke
(mit
und
)
überdecken lässt.
Nehmen wir an, es sei
mit abgeschlossenen Rechtecken
. Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei
ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit
. Es ist dann
für mindestens ein
. Wir behaupten, dass
ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.
Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten
und
Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir
und nehmen wir an,
sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also
. Dann gibt es ein
derart, dass sowohl
als auch
zu
und damit zu
gehören. Also ist
-

Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem
positiv und bei negativem
negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als
ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die
-Koordinate gilt, muss
ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.
Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre
, wie aus der Bijektion
-
folgt. Also kann eine abzählbare Überdeckung mit abgeschlossenen Rechtecken in
nicht den gesamten Rand und damit nicht die abgeschlossene Kreisscheibe überdecken.
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion
-
um die
-Achse rotieren lässt.
Das Volumen des Rotationskörpers
ist gemäß der Formel gleich

Es sei
-
eine
positive
stetige Funktion
(mit
aus
).
Zeige direkt
(ohne die Transformationsformel),
dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
-
das Volumen
besitzt.
Nehmen wir an, dass
ist. Wir betrachten für
die durch die Matrix
-
gegebene lineare Abbildung
des
in sich. Wir setzen
-
Für
sind
und
disjunkt, da aus
-
sofort
und somit aus der Gleichheit der zweiten und dritten Zeile die „Radius“-Beziehung
, also
folgt. Nach der Volumenformel für lineare Abbildungen ist
-

Daher ist einerseits
-
![{\displaystyle {}\lambda ^{3}{\left(\bigcup _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }M_{c}\right)}=\sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M_{c})\geq \sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M)=\infty \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99732c98827261adf5cc7a17b5538bf9e6766bc)
Andererseits ist aber diese Menge in
-
mit
enthalten
(wegen der Stetigkeit existiert das Supremum auf dem kompakten Intervall),
die endliches Maß besitzt, so dass wir einen Widerspruch erhalten.
Es sei
ein
endlicher
Maßraum
und
,
,
eine Familie von
messbaren Mengen
mit den zugehörigen Indikatorfunktionen
. Wir betrachten die Abbildung
-
Zeige, dass die Abbildung
-
nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus
Satz 71.1
sind erfüllt, welche nicht?
Für jedes
ist
-

Wenn z.B.
ein Maßraum ist mit
und die Familie durch
-
gegeben ist, so besitzt die Funktion
eine Sprungstelle in
und ist daher nicht stetig.
Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes
geht es um die Abbildung
-
Da
nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.
Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion
. Es ist
aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes
, und es ist
für jede Indikatorfunktion.
Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
mit einer reellen Zahl aus
addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
mit einer reellen Zahl aus
multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
durch eine reelle Zahl aus
(
)
dividiert?
a) Nach
Fubini
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}x+yd\lambda ^{2}&=\int _{[a,b]\times [c,d]}xd\lambda ^{2}+\int _{[a,b]\times [c,d]}yd\lambda ^{2}\\&=\int _{a}^{b}xdx\int _{c}^{d}1dy+\int _{a}^{b}1dx\int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9685f227f9be9413eaa64622a93e309cf99f08dc)
Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also
-

b) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}xyd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\frac {1}{2}}(d^{2}-c^{2})\\&={\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ba428e56cb3d86915bb68415d490c8682dbd64)
Der Durchschnittswert ist also
-

c) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}{\frac {x}{y}}d\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}{\frac {1}{y}}dy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\left(\ln y|_{c}^{d}\right)}\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2a8961e02c93793bf4229227f135004363859b)
Der Durchschnittswert ist also
-

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks
unter der Abbildung
-
Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung
-
Die Jacobi-Matrix ist
-
mit der Jacobi-Determinante
-
Für die Punkte mit
liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit
liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf
ist also die
Transformationsformel
anwendbar. Die Ausnahmemenge
hat den Flächeninhalt
und das gilt nach
Korollar 73.6
auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach
Fubini
ist somit
-

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