Kurs:Funktionentheorie/4/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 4 | 3 | 7 | 3 | 2 | 3 | 0 | 4 | 4 | 3 | 6 | 2 | 3 | 55 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine ganze Funktion
- Die Kosinusreihe.
- Der Potenzreihenring in einer Variablen über einem Körper .
- Eine Differentialform ersten Grades auf einer offenen Menge mit Werten in einem Vektorraum .
- Eine wesentliche Singularität.
- Die Liftung eines stetigen Weges zu einer stetigen Abbildung .
- Eine ganze Funktion ist eine
komplex differenzierbare
Funktion
- Für
heißt
die Kosinusreihe zu .
- Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition/Begriff/Inhalt
- 1-Form/K/Vektorräume/Definition/Begriff/Inhalt
- Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Definition/Begriff/Inhalt
- Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition/Begriff/Inhalt
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in .
- Der Satz über holomorphe Stammfunktionen.
- Der Satz von Casorati-Weierstrass.
- Für alle komplexen Zahlen mit konvergiert die Reihe absolut und es gilt
- Es sei
ein offener Ball und sei eine holomorphe Funktion.
Dann besitzt eine Stammfunktion
auf . - Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein Punkt und
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- besitzt in eine wesentliche Singularität.
- Für jede offene Kreisscheibenumgebung ist das Bild dicht in .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei , und es sei
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.
Es sei . Nach der Kettenregel ist . Wegen gilt also und damit .
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein - Vektorraum und es seien
und
antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.
Da beide Abbildungen mit der Addition verträglich sind, gilt dies auch für die Verknüpfung. Für einen Vektor und einen Skalar gilt
also ist linear.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
Für jedes gilt die Beziehung
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )
Für und konvergiert dies wegen Aufgabe 8.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 8.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
mit
ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ist.
Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes , , absolut konvergiert. Es ist
Für die Reihenglieder gilt
Da die Reihe nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, sodass auch die Reihe absolut konvergiert.
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe mit gibt. Dabei muss und sein. Es sei nun die Potenreihe mit der gewünschten Eigenschaft bis zum -Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten hat man nach der Definition . die Bedingung
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an .
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus , und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da nach Korollar 9.17 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Es ist
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass der Hauptteil des Produktes von meromorphen Funktionen nicht das Produkt deren Hauptteile sein muss.
Es sei
Der Hauptteil von
ist , dagegen ist der Hauptteil von gleich , die zweite Potenz davon ist .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei die Menge aller Punkte, bezüglich der sternförmig ist. Zeige, dass abgeschlossen ist.
Wir verwenden Satz 33.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Es sei eine Folge, die gegen konvergiere. Es ist zu zeigen, dass auch bezüglich sternförmig ist. Es sei ein Punkt. Nach Voraussetzung gehören die Verbindungsstrecken von nach stets ganz zu . Es sei die Verbindungsstrecke von nach und . Es ist dann
mit einem . Dann konvergiert auch die Folge gegen und wegen der Abgeschlossenheit von ist .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine offene Kreisscheibe und . Es sei eine meromorphe Funktion auf und seien meromorphe Funktionen auf . Es erfülle die Ganzheitsgleichung
auf . Zeige, dass auf ganz meromorph ist.
Indem wir verkleinern können wir davon ausgehen, dass der Nullpunkt die einzige Polstelle der ist. Es sei das Maximum der Polordnung der im Nullpunkt. Wir multiplizieren die Gleichung mit und erhalten die neue Gleichung
Dies lesen wir als eine Ganzheitsgleichung für die Funktion über den auf holomorphen Koeffizientenfunktionen . Aus Aufgabe 14.12 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) folgt, dass holomorph auf ist. Also ist meromorph auf .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine stetige Funktion mit . Zeige, dass durch
eine Funktion
gegeben ist, die die Bedingung
für alle erfüllt.
Da stets positiv ist und da
für gilt, ist die Funktion wohldefiniert und ihr Bild liegt in .
Der zweite Ausdruck für ist stetig und er ergibt für ebenfalls den Wert , daher passen die beiden Teilausdrücke zusammen und ergeben eine stetige Funktion. Die Bedingung bedeutet
wegen der Symmetrie können wir annehmen, wobei die Gleichheit für direkt gilt. Dann ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
Dann ist
nach Korollar 16.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) die Laurent-Reihe von in . Daher ist
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise den Wegeliftungssatz.
Zu jedem Punkt gibt es eine offene Umgebung derart, dass oberhalb von trivialisiert, d.h. ist die disjunkte Vereinigung von zu über homöomorphen offenen Teilmengen von . Aufgrund der Kompaktheit von gibt es somit endlich viele offene Mengen mit dieser Eigenschaft und mit , mit für alle (da zusammenhängend ist) und mit . Es sei mit aufsteigenden Zeitpunkten . Es sei diejenige zu homöomorphe Teilmenge von , die enthält. Dann gibt es für den auf eingeschränkten Weg nur die Liftung . Dieser Weg hat für einen eindeutigen Endpunkt in , sagen wir
Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge homöomorph zu und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten nach . So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion mit
Zeige, dass
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von (mit einer Konstanten ) gilt.
Wenn
ist, so ist die Ableitung von gleich
Also ist
mit auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von .
Aufgabe (3 Punkte)
Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.
Wir strecken das Gitter mit dem Inversen von , also mit
Wegen
ist das Gitter streckungsäquivalent zu
Der zweite Erzeuger liegt nicht im Fundamentalbereich, sein Betragsquadrat ist
Es ist
Der Betrag hiervon ist und der Realteil ist zwischen und , diese Element liegt also im Fundamentalbereich. Es ist also