Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Assoziativität einer
Verknüpfung
-
- Der Kern einer linearen Abbildung
-
zwischen zwei
-Vektorräumen
und
.
- Der
Homomorphismenraum
zu
-Vektorräumen
und
.
- Das von den Elementen
in einem
kommutativen Ring
erzeugte Ideal.
- Eine
alternierende Abbildung
-
wobei
und
Vektorräume
über
sind.
- Die
algebraische Vielfachheit
von einem
Eigenwert
zu einer
linearen Abbildung
-
auf einem
endlichdimensionalen
-Vektorraum
.
Lösung
- Eine
Verknüpfung
-
heißt assoziativ, wenn für alle
die Gleichheit
-

gilt.
- Man nennt
-

den Kern von
.
- Unter dem Homomorphismenraum versteht man
-

versehen mit der Addition, die durch
-

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
-

definiert wird.
- Zu einer Familie von Elementen
in einem
kommutativen Ring
bezeichnet
das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
-
wobei
sind.
- Die Abbildung
-
heißt alternierend, wenn
multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in
zwei Einträge übereinstimmen, also
für ein Paar
, so ist
-

- Den Exponenten des linearen Polynoms
im
charakteristischen Polynom
nennt man die
algebraische Vielfachheit
von
.
Lösung
- Zu einem Untervektorraum
gibt es einen Untervektorraum
derart, dass eine direkte Summenzerlegung
-

vorliegt.
- Es sei
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum mit einer Basis
. Dann bildet die Dualbasis
-
eine Basis des Dualraums.
- Es sei
. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
-

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau
Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
Lösung
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Lösung
- Es ist

- Es ist

- Es ist einerseits

und andererseits

Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Lösung
Es sei
der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
-
die jedes Paar
auf
abbildet, also
-

Dann ist
(für
)
-

und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja

und

Ferner ist natürlich auch
-

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten
-Vektorraum
.
Lösung
Es sei
,
,
ein Erzeugendensystem von
mit einer
endlichen
Indexmenge
. Wir wollen mit der Charakterisierung aus
Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) (2)
argumentieren.
Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein
derart, dass die um
reduzierte Familie, also
,
,
ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge
derart, dass
,
,
ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.
Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Es sei
eine
Basis
eines
-Vektorraumes
. Es seien
von
verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass
ebenfalls eine Basis von
ist.
b) Bestimme die
Übergangsmatrix
.
c) Bestimme die Übergangsmatrix
.
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis
für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis
die Koordinaten
besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis
für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis
die Koordinaten
besitzt.
Lösung
a) Es ist
-

für alle
. Daher ist
ebenfalls ein Erzeugendensystem von
und somit eine Basis, da die Dimension
ist und
Vektoren vorliegen.
b) In den Spalten von
müssen die Koordinaten der Vektoren
bezüglich der Basis
stehen, also ist
-

c) Es ist
-

d) Die Koordinaten ergeben sich aus
-

e) Die Koordinaten ergeben sich aus
-

Lösung
a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen
und
und Skalare
ist
-

offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.
b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen
, für die der
-te Diagonaleintrag eine
ist und für die alle anderen Einträge
sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für
die Matrizen
, für die
-

und alle übrigen Einträge
sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit
-

c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag
gleich
-

und der Eintrag
gleich
-

daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.
d) Wegen
-

müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich
sein. Für
legt der Eintrag
den Eintrag
fest. Für
seien
die antisymmetrischen Matrizen mit
und
,
wobei alle übrigen Einträge gleich
seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit
ist.
e) Es ist
-

f) Es sei
eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt
-

und daher ist
-

Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist
-

Wegen
-

ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung
-

vor.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die
lineare Abbildung
,
die durch die
Matrix
gegeben ist.
- Bestimme das
Bild
der durch die Gleichung
-

gegebenen Geraden.
- Bestimme das
Urbild
der durch die Gleichung
-

gegebenen Geraden.
Lösung
- Die Gerade kann man auch als
-

auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist
-

Alle Vielfache von
werden auf Vielfache von
abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich
-
- Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als
und die Koordinaten den zweiten Raumes als
. Aus der Beziehung
-

ergibt sich
-

Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung
-

beschrieben.
Lösung
Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Lösung
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable
durch die
-Matrix
-
ersetzt.
Lösung
Es ist
-

und
-

Dies gilt auch für die höheren Potenzen. Daher ergibt die Einsetzung

Lösung
Es ist
-

Lösung
Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.
Lösung
Wir schreiben das
charakteristische Polynom
zu
als
-

wobei
in
nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h.
ist die algebraische Vielfachheit von
. Dann sind
und
teilerfremd
und nach
Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist dann
-

und
-
ist eine Bijektion. Es ist ferner
-

wobei die Inklusion
klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von
wegen der eben erwähnten Bijektivität auf
keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach
Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
die Beziehung
-

wobei
das charakteristische Polynom zu
und
das charakteristische Polynom zu
ist. Da
auf
die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu
und damit auch das charakteristische Polynom
eine Potenz von
, sagen wir
-

wobei
-

sei. Insbesondere ist somit
,
da
ein Teiler von
ist. Bei
müsste
eine Nullstelle von
sein und
wäre ein Eigenwert von
. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass
auf diesem Raum eine Bijektion ist.