Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.$

Berechne die Integrale zum Parameter ${}y\in [0,\pi ]$ über ${}x\in [0,1]$ und zum Parameter ${}x\in [0,1]$ über ${}y\in [0,\pi ]$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Mit Aufgabe 10.19 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 35.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Es sei

${}E={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$

(mit der von ${}\mathbb {R}$ induzierten Metrik) und es seien ($n\in \mathbb {N} _{+}$)

$g,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare Funktionen auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}M$. Wir betrachten die Funktion

$f\colon E\times M\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f({\frac {1}{n}},x)=f_{n}(x)\,$

und

${}f(0,x)=g(x)\,.$

Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 11.1 in dieser Situation.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 11.1 sind erfüllt, welche nicht?

Aufgabe

Beweise Satz 58.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), Satz 58.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Korollar 58.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) aus Satz 11.1, Satz 11.2 und Korollar 11.3.

Aufgabe

Formuliere Satz 11.1, Satz 11.2 und Korollar 11.3 für die Situation, wo der Maßraum ${}M$ die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ mit dem Zählmaß sind.

Aufgabe

Es seien ${}h\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon [c,d]\rightarrow \mathbb {R}$ differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 11.2 für

a) ${}f(x,y)=g(x)+h(y)$,

b) ${}f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$.

Aufgabe

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 11.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

$h_{i}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h_{i}(x)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

definiert durch

${}f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{t^{4}+x^{2}t^{2}+1}}dt\,.$

Untersuchen Sie ${}f$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls ${}f$ differenzierbar ist, was ist die Ableitung?

Aufgabe

Wir interpretieren eine Potenzreihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ als eine Funktion auf ${}U{\left(0,r\right)}\times \mathbb {N}$, wobei der offene Ball ${}E=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der induzierten Metrik und ${}\mathbb {N}$ mit dem Zählmaß versehen sei. Welche Eigenschaften von Satz 11.1 und von (einer komplexen Version von) Satz 11.2 sind (in Abhängigkeit von ${}r$) erfüllt? Wie kann man daraus Korollar 16.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) erhalten?

Aufgabe

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 11.5.

Aufgabe

Diskutiere den Wikipediaartikel „Prinzip von Cavalieri“, insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

„Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) “. (Version vom 16. November 2015).

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe *

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Aufgabe *

Es sei ${}Z$ der Zylinder um die ${}x$-Achse und ${}W$ der Zylinder um die ${}z$-Achse, beide zum Radius ${}1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${}Z\cap W$.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$h_{1},h_{2}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

messbare Funktionen. Zeige

${}\int _{M}h_{1}h_{2}d\mu =\int _{S(h_{1})}h_{2}d\mu \otimes \lambda ^{1}\,,$

wobei ${}h_{2}$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen ${}S(h_{1})$ zu ${}h_{1}$ aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}$

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R} ^{n-1}$ die Menge ${}T\cap \varphi ^{-1}(x)$ abzählbar sei. Zeige

${}\lambda ^{n}(T)=0\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}[a,b]$ und ${}[c,d]$ kompakte Intervalle und es sei

$f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y),$

eine stetige Funktion. Zeige mit Hilfe von Satz 11.1, dass auch die Funktion

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,$

stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion ${}\operatorname {Fak} \,(x)$ beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }(\ln t)^{n}t^{x}e^{-t}\,dt\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in ${}(2,3,5)$ liegt und dessen Grundfläche die durch

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}$

gegebene Ellipse ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ das Bildmaß unter der Multiplikation

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Zeige, dass für jede Borelmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$

${}\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)>0\,,\end{cases}}\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}F\neq 0$ ein Polynom in ${}n$ Variablen über ${}\mathbb {R}$ und es sei

${}T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid F(x)=0\right\}}\,$

die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige

${}\lambda ^{n}(T)=0\,.$