Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 23

Grenzwerte von Abbildungen

Wir betrachten die beiden stetigen Funktionen

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1/x,$

und

$g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1,$

die beide nicht im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R}$ definiert sind. Offensichtlich kann man ${}g$ durch die Festlegung ${}g(0):=1$ zu einer stetigen Funktion auf ganz ${}\mathbb {R}$ fortsetzen. Bei ${}f$ hingegen ist das nicht möglich: wenn man sich auf der positiven Halbgeraden ${}0$ annähert, wachsen die Funktionswerte gegen ${}+\infty$, wenn man sich auf der negativen Halbgeraden ${}0$ annähert, so wachsen die Funktionswerte gegen ${}-\infty$, und somit ist jede Fortsetzung nicht stetig. Diese Beobachtung führt zum Begriff des Grenzwertes einer Abbildung, den wir insbesondere im Rahmen der Differentialrechnung verwenden werden.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${}a\in M$ heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn zu jedem ${}\epsilon >0$ der Durchschnitt

${}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von ${}T$ heißt der Abschluss von ${}T$. Er wird mit ${}{\overline {T}}$ bezeichnet.

Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die ${}T$ umfasst.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$. Dann heißt ${}b\in L$ der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$ ist ${}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt.

Notation

In der Situation von Definition 36.3 wird der Grenzwert, falls er existiert, mit

$\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x){\text{ bzw. mit }}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$

bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}b\in L$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Abbildung ${}f$ besitzt in ${}a$ den Grenzwert ${}b$.
2. Zu jeder offenen Menge ${}V\subseteq L$ mit ${}b\in V$ gibt es eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}a\in U$ und mit ${}f(U\cap T)\subseteq V$.
3. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Da ${}V$ offen ist gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$. Aufgrund von (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit

${}f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}\,$

und wir können ${}U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ nehmen.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen ${}a$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ und ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Für die offene Menge ${}V=U{\left(b,\epsilon \right)}$ gibt es nach (2) eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}a\in U$ und ${}f(U\cap T)\subseteq V$. Wegen der Offenheit von ${}U$ gibt es auch ein ${}\delta >0$ mit ${}U{\left(a,\delta \right)}\cap T\subseteq U\cap T$. Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert, gibt es ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit ${}x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$ für alle ${}n\geq N$. Für diese ${}n$ ist dann ${}f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$, d.h. die Bildfolge konvergiert gegen ${}b$.
${}(3)\Rightarrow (1)$.  Nehmen wir an, dass ${}b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ ein ${}x\in T$ gibt mit ${}x\in U{\left(a,\delta \right)}$ und mit ${}f(x)\notin U{\left(b,\epsilon \right)}$. Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche ${}\delta =1/n$ , ${}n\in \mathbb {N}$, an und erhalten eine Folge

$x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert dann gegen ${}a$, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aber nicht gegen ${}b$,  im Widerspruch zu (3).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es seien ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und ${}g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren.

Dann gelten folgende Beziehungen.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in T$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 23.6.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$

wobei ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für ${}x=0$ ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${}{\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann

${}{\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe ***** verwenden, und es ergibt sich insgesamt ${}1/4$.

Fortsetzung von stetigen Abbildungen

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq M$. Dann heißt eine Abbildung

${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow L$

eine stetige Fortsetzung von ${}f$, wenn ${}{\tilde {f}}$ stetig ist und ${}{\tilde {f}}(x)=f(x)$ gilt für alle ${}x\in T$.

Satz

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume, ${}T\subseteq L$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}$ und für jedes ${}a\in {\tilde {T}}\setminus T$ existiere der

Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$.

Dann ist die durch

${\tilde {f}}(a):={\begin{cases}f(a)\,,{\text{ falls }}a\in T\,,\\\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x),\,{\text{ falls }}a\in {\tilde {T}}\setminus T\,,\end{cases}}$

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von ${}f$ auf ${}{\tilde {T}}$.

Beweis

Es sei ${}a\in {\tilde {T}}$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}a$ ein Berührpunkt von ${}T$ ist und da der Grenzwert von ${}f$ in ${}a$ existiert (bei ${}a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$ für alle ${}x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Es sei nun ${}y\in {\tilde {T}}$ mit ${}d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$. Es gibt ein ${}x\in T$ mit ${}d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$ und mit ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$. Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ${}y$ ist ${}d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Insgesamt ist daher

${}d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.$

$\Box$

Satz

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit dem Abschluss ${}{\overline {T}}$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine gleichmäßig stetige Abbildung.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Beweis

Aufgrund von Satz 23.9 genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes ${}a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${}{\mathbb {K} }$ ist, und ${}{\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${}f$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ ist für alle ${}x,x'\in T$ mit

${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta \,.$

Wegen der Konvergenz der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}d{\left(x_{n},a\right)}\leq \delta /2$ für alle ${}n\geq n_{0}$. Für alle ${}n,m\geq n_{0}$ gilt daher ${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ und somit insgesamt

${}d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,.$

Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen ${}a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge ${}x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$ betrachtet, die ebenfalls gegen ${}a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.

$\Box$

Korollar

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine gleichmäßig stetige Funktion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 23.10 und aus ${}{\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$.

$\Box$

Reelle Exponentialfunktionen

Für jede positive reelle Zahl ${}b$ und ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}b^{n}$ eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe Aufgabe *****. Für eine weitere natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und eine positive reelle Zahl ${}y$ ist ${}y^{1/m}$ definiert. Für eine rationale Zahl ${}q=n/m$ ist daher ${}b^{q}=(b^{n})^{1/m}$ definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von ${}q$, siehe Aufgabe *****.

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
2. Es ist ${}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 23.11.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.

Beweis

Wir betrachten Intervalle der Form ${}[-n,n]$ mit ${}n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Monotonie ist

${}b^{q}\leq m:={\max {\left(b^{n},b^{-n}\right)}}\,$

für alle ${}q\in [-n,n]$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die Folge ${}{\left(b^{1/k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe ***** gegen ${}1$, daher gibt es insbesondere ein ${}k$ derart, dass

${}\vert {b^{1/k}-1}\vert \leq {\frac {\epsilon }{m}}\,$

ist. Wir setzen ${}\delta =1/k$. Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen ${}q,q'\in [-n,n]$ mit

${}\vert {q'-q}\vert \leq \delta \,$

unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall ${}b\geq 1$ und ${}q'\geq q$)

${}\vert {b^{q'}-b^{q}}\vert =\vert {{\frac {b^{q'}}{b^{q}}}-1}\vert \cdot b^{q}\leq \vert {b^{q'-q}-1}\vert \cdot m\leq {\frac {\epsilon }{m}}\cdot m=\epsilon \,.$

$\Box$

Die Exponentialfunktionen für die Basen ${}b=10,{\frac {1}{2}}$ und ${}e$.

Aufgrund von Lemma 23.13 und Korollar 23.11 (mit einem beliebigen Intervall ${}[-n,n]$ statt ganz ${}\mathbb {Q}$.) lassen sich die zunächst nur auf ${}\mathbb {Q}$ definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.

Definition

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe *****. Es sei ${}x_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x$ konvergiert, und ${}y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x'$ konvergiert. Dann ist nach Lemma 7.10  (1) die Folge ${}x_{n}+y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Lemma 7.10  (2) und der Stetigkeit

${}{\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$

$\Box$

Eine besondere Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis ${}b=e$. Wir werden dafür bald eine weitere Beschreibung kennenlernen, die auch für komplexe Exponenten erklärt ist.

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