Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle
- Übungsaufgaben
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Es sei eine Basis eines dreidimensionalen - Vektorraumes .
a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix .
c) Bestimme die Übergangsmatrix .
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Wir betrachten die Vektorenfamilien
im .
a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.
b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?
c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.
Wir betrachten die lineare Abbildung
Es sei der durch die lineare Gleichung definierte Untervektorraum von , und sei die Einschränkung von auf . Zu gehören Vektoren der Form
Berechne und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen
von sowie die beschreibenden Matrizen für bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ).
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren und Koeffizienten die Beziehung
gilt.
Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von nach . Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?
- Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
- Masse ist Volumen mal Dichte.
- Energie ist Masse mal Brennwert.
- Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
- Energie ist Kraft mal Weg.
- Energie ist Leistung mal Zeit.
- Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
- Ladung ist Stromstärke mal Zeit.
Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?
- Eine Amöbe.
- Eine Ameise.
- Eine Meise.
- Eine Flunder.
- Eine Boa constrictor.
- Ein Meerschweinchen.
- Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
- Ein sehr guter Limbotänzer.
Eine lineare Funktion
hat an der Stelle den Wert . Welchen Wert hat sie an der Stelle ?
Welche der folgenden Funktionen sind linear?
- Die reelle Exponentialfunktion.
- Die Nullfunktion.
- Die konstante Funktion mit dem Wert .
- Die Quadratfunktion .
- Die Funktion, die jede reelle Zahl halbiert.
- Die Funktion, die von jeder reellen Zahl abzieht.
Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?
Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von €. Am Obststand kosten Himbeeren €, Erdbeeren kosten € und Äpfel € (jeweils pro Hundert Gramm). Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien
lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung
Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Es sei
eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung
linear ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass für die Abbildung
die folgenden Beziehungen gelten.
- ist injektiv genau dann, wenn linear unabhängig sind.
- ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
- ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis ist.
Zeige, dass die Abbildungen
und
-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation -linear, aber nicht -linear ist. Ist der Betrag
-linear?
Betrachte die Abbildung
die eine rationale Zahl auf schickt und die alle irrationalen Zahlen auf schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
- Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
- Für einen Unterraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist ein Untervektorraum von .
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.
Bestimme den Kern der linearen Abbildung
Bestimme den Kern der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung
aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?
Es sei eine - Matrix über dem Körper , die zugehörige lineare Abbildung und das (vom Störvektor abhängige) zugehörige lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Urbild von unter der linearen Abbildung ist.
Es seien und Vektorräume über einem Körper und seien lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die durch
definierte Abbildung linear ist.
Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
die nicht injektiv ist, deren Einschränkung
aber injektiv ist.
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass
gilt, mit einer Matrix.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Vektorenfamilien
im .
a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.
b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?
c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Skizziere das Bild der dargestellten Kreise unter der durch die Matrix gegebenen linearen Abbildung vom in sich.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung
derart, dass das Bild von gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Auf dem reellen Vektorraum
der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen
und
Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .[2]
- Fußnoten
- ↑ Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor .
- ↑ Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.