Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 72/kontrolle
Korollar Referenznummer erstellen
Beweis
Die Abbildung ist messbar nach Lemma 64.11 und nach Lemma 68.3. Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist . Sei messbar. Wir müssen
zeigen. Für ist
Aufgrund der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
Aufgrund der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips gilt also
- Einige Volumina
Definition Referenznummer erstellen
Zu einer Teilmenge nennt man
die zugehörige Rotationsmenge (um die -Achse).
Satz Referenznummer erstellen
Es sei
eine nichtnegative messbare Funktion und sei der Rotationskörper zum Subgraphen von um die -Achse.
Dann besitzt das Volumen
wobei für die zweite Formel als stetig vorausgesetzt sei.
Beweis
Nach dem Cavalieri-Prinzip und nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises ist
Für stetiges ist dies nach Satz 70.5 gleich
Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer
(differenzierbaren)
Funktion werden wir in
Satz 85.5
berechnen.
Beispiel Beispiel 72.4 ändern
Wir wollen das Volumen einer -dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius berechnen, also von
Wegen Satz 67.2 gilt dabei , d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Ihr Volumen bezeichnen wir mit . Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist ). Wir betrachten
Für jedes fixierte , , kann man den Querschnitt als
schreiben, d.h. als eine -dimensionale Kugel vom Radius . Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher
Dabei können wir das Integral rechts wegen Satz 70.5 und Korollar 24.7 über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution
liefert
Im Beweis zu Korollar 25.4 wurden diese Integrale berechnet; mit gilt
Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als
schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Satz 32.3, siehe Aufgabe *****. {{:Kurs:Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Fakultätsformel/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Fakultätsformel/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}}
Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert , für das Volumen der Einheitskugel der Wert und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert .
Definition Referenznummer erstellen
Es sei und ein Punkt. Dann nennt man die Menge
den Kegel zur Basis mit der Spitze .
Satz Referenznummer erstellen
Beweis
Bei liegt der gesamte Kegel in und sein -Maß ist nach Lemma 66.11, sei also . Der Durchschnitt von mit der durch , zwischen und , gegebenen Hyperebene ist
Wegen der Translationsinvarianz und Korollar 67.3 ist dessen Volumen gleich . Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit )
Beispiel Beispiel 72.7 ändern
Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius . Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist . Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann (mit der Substitution )
Der wahre Wert ist aber mit deutlich größer.
- Der Satz von Fubini
Es seien und - endliche Maßräume und sei
eine messbare Funktion. Der Satz von Fubini bringt das Integral mit dem Integral über der Funktion
in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum , und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details (Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen) doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen.
Eine Teilmenge eines Maßraumes heißt Nullmenge, wenn ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen , für die es eine messbare Menge gibt mit . Für eine Eigenschaft , die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft fast überall gilt, wenn die Ausnahmemenge
eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von fast überall definierten Funktionen. Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche „kleinen“ Undefiniertheitsstellen ignorieren.
Lemma Lemma 72.8 ändern
Es seien und - endliche Maßräume und sei
eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
Beweis
(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
für jedes
.
(2) folgt aus
Lemma 71.4
angewendet auf
da der Subgraph von und
ist.
(3). Nach
Satz 71.5,
angewendet auf das Produkt , ist
Da man die Rollen von
und
vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.
Lemma Lemma 72.9 ändern
Es seien und - endliche Maßräume und sei
eine messbare Funktion.
Dann ist genau dann integrierbar, wenn
endlich ist.
Beweis
Die Integrierbarkeit von ist nach Lemma 69.5 äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von bedeutet. Die Aussage folgt daher aus Lemma 72.8.
Wir kommen nun zum Satz von Fubini.
Satz Satz 72.10 ändern
Es seien und - endliche Maßräume und sei
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
und
fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
Beweis
Nach Voraussetzung und nach
Lemma 72.9
ist die Funktion
integrierbar.
Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine
Nullmenge
gibt mit
für
.
Daher sind
nach Lemma 69.5
für
die Integrale definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile
und .
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man durch ersetzen. Wir schreiben
und wenden auf die beiden Summanden Lemma 72.8 an, so dass dies gleich
ist.