Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 35

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Abschluss von ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$

Aufgabe *

Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$.

1. Sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. ${}S_{k}$ ist die Menge der reellen Zahlen ${}\geq 0$, deren Dezimalentwicklung nach der ${}k$-ten Nachkommastelle abbricht.
2. ${}T$ ist die Menge aller reellen Zahlen ${}\geq 0$, deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige für den Abschluss von ${}T$ die Gleichheit

${}{\overline {T}}=\bigcap _{T\subseteq A\subseteq M,\,A{\text{ abgeschlossen}}}A\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige für den Abschluss von ${}T$ die Gleichheit

${}{\overline {T}}={\left\{x\in M\mid {\text{ es gibt eine Folge }}x_{n}{\text{ in }}T,{\text{ die gegen }}x{\text{ konvergiert}}\right\}}\,.$

Aufgabe

1. Zeige, dass in einem metrischen Raum ${}M$ der Abschluss einer offenen Kugel ${}U{\left(x,r\right)}$ nicht die abgeschlossene Kugel ${}B\left(x,r\right)$ sein muss.
2. Zeige, dass in einem euklidischen Raum ${}V$ der Abschluss einer offenen Kugel ${}U{\left(x,r\right)}$ gleich der abgeschlossenen Kugel ${}B\left(x,r\right)$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum, zu einer Menge ${}A\subseteq M$ bezeichnet ${}{\overline {A}}$ den Abschluss von ${}A$. Beweise oder widerlege die folgenden Eigenschaften

1. ${}{\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,.$

2. ${}{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}\,.$

Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ eines metrischen Raumes ${}X$ heißt dicht, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit ${}d(t,x)<\epsilon$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}T$ ist dicht.
2. Es ist ${}{\overline {T}}=M$.
3. Für jeden Punkt ${}x\in M$ gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ${}x$ konvergiert.
4. Für jede nichtleere offene Menge ${}U\subseteq M$ ist ${}T\cap U\neq \emptyset$.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq L$ eine dichte Teilmenge in einem metrischen Raum ${}L$ und seien ${}\varphi ,\psi \colon L\rightarrow M$ stetige Abbildungen in einen weiteren metrischen Raum ${}M$. Für die Einschränkungen gelte ${}\varphi {|}_{T}=\psi {|}_{T}$. Zeige ${}\varphi =\psi$.

Aufgabe

Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow V$

eine Abbildung in einen euklidischen Vektorraum ${}V$ mit den Komponentenfunktionen

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

bezüglich einer Basis von ${}V$. Zeige, dass der Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f_{j}(x)$

existieren.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es seien ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und ${}g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in T$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}.$

Aufgabe

Es seien ${}D,E,F$ metrische Räume und sei

$h\colon D\longrightarrow E$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}P\in D$ ein Berührpunkt von ${}D\setminus \{P\}$ und

${}h(P)=Q\in E\,$

ein Berührpunkt von ${}E\setminus \{Q\}$. Es sei

$g\colon E\setminus \{Q\}\longrightarrow F$

eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass

$\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$

existiert. Zeige, dass dann auch

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow P}\,g(h(x))$

existiert und mit ${}\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge eines metrischen Raumes, ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$,

$g\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und ${}b\in L$. Zeige, dass für den Limes

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)=b\,$

genau dann gilt, wenn

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,d{\left(g(x),b\right)}=0\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}a\in M$, ${}a\notin T$, ein Punkt, der ein Berührpunkt von ${}T$ sei. Zeige, dass der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)$

genau dann existiert, wenn ${}f$ eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\longrightarrow L$

besitzt.

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Randpunkt von ${}T$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ der offene Ball

$U{\left(x,\epsilon \right)}$

sowohl Punkte aus ${}T$ als auch Punkte aus ${}M\setminus T$ enthält.

Die Menge aller Randpunkte von ${}T$ heißt Rand von ${}T$, geschrieben ${}\operatorname {Rand} \,(T)$.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von ${}T$ gleich dem Durchschnitt von ${}{\overline {T}}$ und ${}{\overline {M\setminus T}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von ${}T$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge

$T\cup \operatorname {Rand} \,(T)$

abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge

$T\setminus \operatorname {Rand} \,(T)$

offen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann abgeschlossen ist, wenn die Inklusion ${}\operatorname {Rand} \,(T)\subseteq T$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}M=A\cup B$ mit nichtleeren Teilmengen ${}A,B\subseteq M$ und ${}A\cap B=\emptyset$. Es gebe ein ${}\delta >0$ mit

$d(x,y)\geq \delta {\text{ für alle }}x\in A,\,y\in B.$

Zeige, dass ${}A$ (und auch ${}B$) sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ der nichtleere Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$ gelten?

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein nichtleeres reelles Intervall und ${}x\in I$ ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von ${}I\setminus \{x\}$, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Aufgabe *

Beweise den Zwischenwertsatz mit Satz 35.9 und Satz 35.10.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Bestimme die zusammenhängenden Teilmengen von ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}T$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ wegzusammenhängend.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von ${}f$ (als Teilmenge von ${}I\times \mathbb {R}$) wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Untersuche den Graphen der durch

${}f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

gegebenen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ auf Zusammenhangseigenschaften.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von ${}T$ genau dann leer ist, wenn ${}T$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei ${}T$ zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene, nicht zusammenhängende Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass der Abschluss von ${}U$ zusammenhängend ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Abschluss der Menge ${}T=U{\left(0,1\right)}\cap \mathbb {Q} ^{2}$ in ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,r\in \mathbb {R}$, ${}r>0$, und sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}\,$

der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}M=(a,b)$ und dem Radius ${}r$. Es sei ${}G$ eine Gerade in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass es auf ${}G$ mindestens einen Punkt ${}P$ gibt mit ${}d(M,P)\leq r$. Zeige, dass ${}K\cap G\neq \emptyset$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Kugeloberfläche

${}S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$

wegzusammenhängend ist. Man gebe dabei für je zwei Punkte einen expliziten Weg an, der diese Punkte stetig verbindet.