Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 36

Weitere Stetigkeitsbegriffe

Bei der Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen weiß man lediglich, dass jede gewünschte Zielgenauigkeit durch eine gewisse Startgenauigkeit erreicht werden kann, wobei die Beziehung zwischen Ziel- und Startgenauigkeit vom jeweiligen Punkt abhängt. Wir führen einige stärkere Stetigkeitsbegriffe ein, bei denen es einen globaleren Zusammenhang zwischen Ziel- und Startgenauigkeiten gibt.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle ${}x,x'\in L$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl ${}c\geq 0$ mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in L$ gibt.

Eine solche Zahl ${}c$ heißt Lipschitz-Konstante. Lipschitz-stetige Funktionen mit einer Lipschitz-Konstanten ${}<1$ bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl ${}c<1$ gibt mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in L$.

Die Zahl ${}c$ nennt man auch einen Kontraktionsfaktor.

Der Banachsche Fixpunktsatz

Wenn man eine Karte von Osnabrück in die Osnabrücker Reithalle legt und einen beliebigen Punkt von Osnabrück nimmt, so definiert dieser Punkt einen Punkt auf der Karte und damit auch den zugehörigen Punkt in der Reithalle. Diesem Punkt entspricht ein Kartenpunkt, der wiederum ein Punkt in der Reithalle ist, und so weiter. Man erhält also eine Folge von Punkten, die - abhängig vom Maßstab - schnell konvergiert, und zwar gegen einen Punkt, der mit seinem Punkt auf der Karte übereinstimmt. Diese Beobachtung wird im Banachschen Fixpunktsatz präzisiert.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element ${}x\in M$ mit ${}f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum ${}M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,$

gilt.

Definition

Ein metrischer Raum ${}M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}M$ konvergiert.

Der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ und jede abgeschlossene Teilmenge davon ist vollständig, siehe Aufgabe 36.9 und Aufgabe 36.22.

Satz

Es sei ${}M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine

stark kontrahierende Abbildung.

Dann besitzt ${}f$ genau einen Fixpunkt.

Beweis

Es sei ${}c\in \mathbb {R}$, ${}0\leq c<1$, ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in M$. Wenn ${}x,y\in M$ Fixpunkte sind, so folgt aus

${}d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)\,$

sofort ${}d(x,y)=0$ und somit ${}x=y$, es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Es sei nun ${}x\in M$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

$x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})$

rekursiv definierte Folge in ${}M$. Wir setzen

${}a=d{\left(f(x),x\right)}\,.$

Dann gilt für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Beziehung

${}d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.$

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für ${}n\geq m$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}$

Zu einem gegebenen ${}\epsilon >0$ wählt man ${}n_{0}$ mit

${}c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon \,.$

Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein ${}y\in M$ konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ${}y$ ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}f(y)$, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert ${}y$ sein muss.

$\Box$

Kompaktheit

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in ${}T$ eine in ${}T$ konvergente Teilfolge besitzt.

Beweis

Wenn ${}T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}x_{n}\in T$ mit ${}d{\left(x_{n},0\right)}\geq n$. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn ${}T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Satz 33.16 eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ein ${}x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen ${}x$, sodass es keine in ${}T$ konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun ${}T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${}{\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente ${}i=1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${}{\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Lemma 33.14 konvergiert dann die gesamte Teilfolge in ${}\mathbb {R} ^{m}$. Da ${}T$ abgeschlossen ist, liegt nach Satz 33.16 der Grenzwert in ${}T$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum ${}M$.

Dann ist ${}f$ gleichmäßig stetig.

Beweis

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass für kein ${}\delta >0$ die Beziehung ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$ für alle ${}x\in T$ erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Paar ${}x_{n},y_{n}\in T$ mit ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$, aber mit ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$. Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Satz 36.9 eine Teilfolge ${}(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist ${}N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein ${}x\in T$ konvergiert. Die entsprechende Teilfolge ${}(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen ${}(f(x_{n}))_{n\in N}$ und ${}(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen ${}f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetige Abbildung.

Dann ist auch das Bild ${}f(T)$ kompakt.

Beweis

Es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in f(T)$ eine Folge, wobei wir ${}y_{n}=f(x_{n})$ mit ${}x_{n}\in T$ schreiben können. Da ${}T$ kompakt ist, gibt es nach Satz 36.9 eine konvergente Teilfolge ${}x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, die gegen ein ${}x\in T$ konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge ${}y_{n_{i}}=f(x_{n_{i}})$ gegen ${}f(x)$. Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und ${}f(T)$ ist kompakt nach Satz 36.9.

$\Box$

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in T$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis

Aufgrund von Satz 36.11 ist ${}f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist ${}f(T)\leq M$ für eine reelle Zahl ${}M$. Wegen ${}T\neq \emptyset$ besitzt ${}f(T)$ wegen Satz 7.5 ein Supremum ${}s$ in ${}\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Korollar 33.18 zu ${}f(T)$ gehört, also das Maximum von ${}f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein ${}x\in T$ mit ${}f(x)=s$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}P\in {\mathbb {K} }[X]$ ein Polynom.

Dann gibt es ein ${}w\in {\mathbb {K} }$ mit

${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert \,$

für alle ${}z\in {\mathbb {K} }$.

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis

Es sei

${}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$

(mit ${}a_{n}\neq 0$). Wir setzen ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Bei ${}n=0$ ist die Aussage klar, sei also ${}n\geq 1$. Für ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert \geq r$ gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$

Auf der kompakten Menge ${}B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion ${}z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Satz 36.12 ihr Minimum an, d.h. es gibt ein ${}w\in B(0,r)$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ für alle ${}z\in B(0,r)$. Wegen ${}\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ und der Überlegung für ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt ${}w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

$\Box$

Der Fundamentalsatz der Algebra

Satz

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Lemma 36.13 gibt es ein ${}z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ${}0$ ist. Wir nehmen also an, dass ${}\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein ${}z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen ${}z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle ${}0$ angenommen wird, und durch Division durch ${}P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert ${}1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

${}P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Korollar 21.9 gibt es ein ${}\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit ${}\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen ${}z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen ${}w$ erhalten wir ein Polynom der Form

$1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ${}Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Satz 36.12 gibt es ein ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle ${}w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles ${}w$ mit ${}0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt

${}{\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

$\Box$

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