Kurs:Differentialgeometrie/6/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 7 4 0 0 0 5 15 5 0 3 3 0 10 4 62




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bogenparametrisierte Kurve
  2. Zwei in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit tangential äquivalente differenzierbare Kurven

    (dabei sei ein offenes reelles Intervall und ).

  3. Ein stetiger Schnitt zu einer stetigen Abbildung

    zwischen topologischen Räumen und .

  4. Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit .
  5. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren - Differentialform auf einer offenen Menge .
  6. Die Schnittkrümmung zu linear unabhängigen Vektoren auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einem Punkt .


Lösung

  1. Eine differenzierbare Kurve

    heißt bogenparametrisiert, wenn für alle gilt.

  2. Die beiden Kurven und heißen tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebung und eine Karte

    mit derart gibt, dass

    gilt.
  3. Unter einem stetigen Schnitt zu versteht man eine stetige Abbildung mit
  4. Zu sei diejenige alternierende Form auf (bzw. das entsprechende Element aus ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert zuordnet. Dann heißt die - Differentialform

    die kanonische Volumenform auf .

  5. Die Form besitzt auf eine Darstellung

    mit stetig differenzierbaren Funktionen

    Dann ist die äußere Ableitung die -Form

  6. Man nennt die Zahl

    wobei den Krümmungsoperator auf dem Tangentialbündel bezeichnet, die Schnittkrümmung zu in .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
  2. Die Formel für die Lie-Klammer von Vektorfeldern auf einer offenen Menge .
  3. Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.


Lösung

  1. Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei zusammenhängend. Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf .
  2. Es sei offen und seien zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf mit den zugehörigen Differentialoperatoren und Dann gilt
    Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung und somit einem Vektorfeld.
  3. Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

    deren Einschränkung

    auf die Identität ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche .


Lösung

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem und mit dem Gradienten zu . Dieser ist nach Voraussetzung auf nirgendwo gleich und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von . Indem wir eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf das neue Vektorfeld , das durch

gegeben ist. Für ist , da ja auf der Gradient zu senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt (im Unterschied zu ) die Eigenschaft, dass für alle Punkte der Vektor senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja

Es sei nun

die nach Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu mit der Anfangsbedingung . Dann ist

Daher ist auf dem Bild konstant und wegen ist für alle , also für alle .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass bei die Gleichheit

gilt.


Lösung

Es sei , das wir zu einer Orthogonalbasis von ergänzen. Es seien die Koordinatenfunktionen von zu dieser Basis. Dann ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.


Lösung

Für eine differenzierbare Kurve

mit und und eine Karte

(mit und ) ändert sich der Ausdruck

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall und einer kleineren offenen Menge (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass und auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in liegen, und dass es für dieses zwei Karten

und

gibt. Dann folgt aus

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung sofort


Aufgabe (15 (3+3+4+5) Punkte)

Es sei der Torus und die Einheitssphäre.

a) Zeige, dass durch

eine stetige Abbildung gegeben ist.


b) Zeige, dass surjektiv ist.

c) Beschreibe die Fasern von .

d) Erläutere die Abbildung unter Verwendung einer Skizze.


Lösung

a) Wir zeigen zunächst, dass die Abbildung in der Tat auf der Sphäre landet, d.h. wir müssen zeigen, dass die Summe der Quadrate der drei Einträge gleich ist. Ohne Berücksichtigung des Vorfaktors ist dies

c) Die Berechnung der Faser über dem Nordpol führt zu den Bedingungen

Daher muss jeweils ein Faktor gleich sein. Bei

sind bei beliebigem beide Bedingungen erfüllt, ebenso sind bei

und beliebigem beide Bedingungen erfüllt. Dabei ist wegen

bzw. wegen

die dritte Komponente gleich . Bei und muss

sein. Die verbleibende Möglichkeit ist und , doch dabei ist die dritte Komponente gleich .

d) Der Winkel definiert den Punkt

auf dem durch gegebenen Großreis. Der Nordpol und definieren den Halbierungspunkt

Der Bildpunkt wird auf dem Kreis mit Mittelpunkt platziert, der durch den Nordpol und verläuft und der ganz auf der Sphäre liegt. Daher muss auf der Ebene liegen, die durch

und gegeben sind. Um mit der trigonometrischen Parametrisierung von arbeiten zu können, braucht man eine Orthonormalbasis, daher arbeiten wir mit

Dies führt insgesamt auf


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral zu

für die -Differentialform

auf dem .


Lösung

Es ist

Daher ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei

die durch

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .


Lösung

a) Es ist , und zwar ist nach der Quotientenregel

b) Die äußere Ableitung von ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung

einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.


Lösung

Wir betrachten die positive Halbebene

und die Abbildung

Als polynomiale Abbildung ist stetig differenzierbar. Der Randpunkt wird auf den Randpunkt abgebildet. Bei allen anderen Punkten von ist oder und daher stets

die erste Komponente ist also positiv.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.


Lösung

Da beide Seiten dieser Gleichung linear in sind, können wir annehmen, dass die Gestalt

mit einer in einer offenen Umgebung von definierten stetig differenzierbaren Funktion besitzt. Die Integrale sind links und rechts Lebesgue-Integrale zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des bzw. . Daher können wir auf beiden Seiten zum topologischen Abschluss übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, sodass dies die Integrale nicht ändert.

Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als

Wir wenden Korollar 14.10 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) auf jede Seite ausgenommen und an und erhalten darauf

da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen konstant ist. Aufgrund des Satzes von Fubini und des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (angewendet auf jedes fixierte ) gilt


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kurve

in die Halbebene von Poincaré die Christoffelsymbole für den zurückgezogenen Zusammenhang (zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ) auf .


Lösung

Die einzige Standardableitung auf ist , deshalb verzichten wir auf einen unteren Index für die Christoffelsymbole. Nach Fakt *****  (2) ist für

Mit Beispiel ***** ergibt sich

und