Lösung
- Eine
differenzierbare Kurve
-
heißt
bogenparametrisiert,
wenn
für alle gilt.
- Die beiden Kurven
und
heißen tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebung und eine
Karte
-
mit derart gibt, dass
-
gilt.
- Unter einem
stetigen Schnitt
zu versteht man eine stetige Abbildung
mit
-
- Zu sei diejenige
alternierende Form
auf
(bzw. das entsprechende Element aus ),
die jeder die
Orientierung
repräsentierenden
Orthonormalbasis
den Wert zuordnet. Dann heißt die
-
Differentialform
-
die kanonische Volumenform auf .
- Die Form besitzt auf eine Darstellung
-
mit
stetig differenzierbaren Funktionen
-
Dann ist die äußere Ableitung die -Form
-
- Man nennt die Zahl
-
wobei den
Krümmungsoperator
auf dem Tangentialbündel bezeichnet, die
Schnittkrümmung
zu in .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche
.
- Die Formel für die Lie-Klammer von Vektorfeldern auf einer offenen Menge
.
- Der Satz über
Retraktionen zum Rand
auf Mannigfaltigkeiten.
Lösung
- Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
zusammenhängend.
Dann gibt es genau zwei
Orientierungen
auf .
- Es sei
offen
und seien zweifach
stetig differenzierbare Funktionen
auf mit den zugehörigen Differentialoperatoren
und
Dann gilt
-
Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung und somit einem Vektorfeld.
- Es sei eine
kompakte
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie.
Dann gibt es keine
stetig differenzierbare Abbildung
-
deren
Einschränkung
auf die Identität ist.
Beweise den
Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche
.
Lösung
Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem und mit dem
Gradienten
zu . Dieser ist nach Voraussetzung auf nirgendwo gleich und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von . Indem wir eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf das neue Vektorfeld , das durch
-
gegeben ist. Für
ist
,
da ja auf der Gradient zu senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt
(im Unterschied zu )
die Eigenschaft, dass für alle Punkte
der Vektor senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja
Es sei nun
-
die nach
Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu mit der Anfangsbedingung
.
Dann ist
Daher ist auf dem Bild konstant und wegen
ist
für alle
,
also
für alle
.
Lösung
Es sei
,
das wir zu einer Orthogonalbasis von ergänzen. Es seien die Koordinatenfunktionen von zu dieser Basis. Dann ist
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.
Lösung
Es sei
der Torus und
die
Einheitssphäre.
a) Zeige, dass durch
-
eine stetige Abbildung gegeben ist.
b) Zeige, dass surjektiv ist.
c) Beschreibe die Fasern von .
d) Erläutere die Abbildung unter Verwendung einer Skizze.
Lösung
a) Wir zeigen zunächst, dass die Abbildung in der Tat auf der Sphäre landet, d.h. wir müssen zeigen, dass die Summe der Quadrate der drei Einträge gleich ist. Ohne Berücksichtigung des Vorfaktors ist dies
c) Die Berechnung der Faser über dem Nordpol führt zu den Bedingungen
-
Daher muss jeweils ein Faktor gleich sein. Bei
-
sind bei beliebigem beide Bedingungen erfüllt, ebenso sind bei
-
und beliebigem beide Bedingungen erfüllt. Dabei ist wegen
-
bzw. wegen
-
die dritte Komponente gleich . Bei
und
muss
-
sein. Die verbleibende Möglichkeit ist
und
,
doch dabei ist die dritte Komponente gleich .
d) Der Winkel definiert den Punkt
-
auf dem durch
gegebenen Großreis. Der Nordpol und definieren den Halbierungspunkt
Der Bildpunkt wird auf dem Kreis mit Mittelpunkt platziert, der durch den Nordpol und verläuft und der ganz auf der Sphäre liegt. Daher muss auf der Ebene liegen, die durch
-
und gegeben sind. Um mit der trigonometrischen Parametrisierung von arbeiten zu können, braucht man eine Orthonormalbasis, daher arbeiten wir mit
-
Dies führt insgesamt auf
Berechne das Wegintegral zu
-
für die -Differentialform
-
auf dem .
Lösung
Es ist
Daher ist
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es sei
-
die durch
-
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von .
b) Berechne die äußere Ableitung von .
Lösung
Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung
-
einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.
Lösung
Wir betrachten die positive Halbebene
-
und die Abbildung
-
Als polynomiale Abbildung ist stetig differenzierbar. Der Randpunkt wird auf den Randpunkt abgebildet. Bei allen anderen Punkten von ist
oder
und daher stets
-
die erste Komponente ist also positiv.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.
Lösung
Da beide Seiten dieser Gleichung linear in sind, können wir annehmen, dass die Gestalt
-
mit einer in einer offenen Umgebung von definierten stetig differenzierbaren Funktion besitzt. Die Integrale sind links und rechts
Lebesgue-Integrale
zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des
bzw. .
Daher können wir auf beiden Seiten zum
topologischen Abschluss
übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, sodass dies die Integrale nicht ändert.
Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als
-
Wir wenden
Korollar 14.10 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
auf jede Seite ausgenommen
und
an und erhalten darauf
-
da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen konstant ist. Aufgrund
des Satzes von Fubini
und
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
(angewendet auf jedes fixierte )
gilt
Lösung
Die einzige Standardableitung auf ist , deshalb verzichten wir auf einen unteren Index für die Christoffelsymbole. Nach
Fakt ***** (2)
ist für
-
Mit
Beispiel *****
ergibt sich
-
-
-
und
-