Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 13/kontrolle
- Übungsaufgaben
Das Kroneckerprodukt zu Matrizen
und
ist durch
gegeben.
Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen und .
Es sei ein Körper und
und
Matrizen mit den zugehörigen linearen Abbildungen bzw. . Zeige, dass das Tensorprodukt dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen , , von und , , von durch das Kroneckerprodukt von und beschrieben wird.
Zeige, dass das Tensorprodukt des Möbiusbandes mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.
Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf abhängt).
Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt die Tangentialabbildung
bijektiv und orientierungstreu ist.
Es sei eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung
bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.
Es sei ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass kompakt ist.
Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.
Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.
Es sei ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei
eine stetige Funktion. Zeige, dass es ein mit
Es sei
eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ist.
Es sei
eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.
Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen nicht überdeckungskompakt ist.
Wir betrachten die natürlichen Zahlen und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.
Es sei ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass vollständig ist.
Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
Zeige, dass die Menge
eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung
gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und topologische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und sei das Produkt mit der Produkttopologie versehen. Es sei ein reelles Intervall und
eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass
für jedes eine Basis von ist. Zeige, dass sämtliche Basen , , die gleiche Orientierung auf repräsentieren.