Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Dachprodukt/Anhang

Das Dachprodukt

Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen (also Schnitte im Kotangentialbündel) erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden.

Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48 verweisen.

Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und

$\triangle \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine Abbildung

in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Man nennt ${}\triangle$ multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel

$(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$

die induzierte Abbildung

$V\longrightarrow W,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$

linear ist.

Eine multilineare Abbildung ${}\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist ${}\triangle (v)=0$.

Das wichtigste Beispiel ist die Determinante (auf ${}V=K^{n}$), die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel (da keine Standardbasis) in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra.

Konstruktion  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Wir konstruieren das sogenannte ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$ mit sich selbst, geschrieben ${}\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge ${}S$ aller Symbole der Form

${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$

und die zugehörige Menge der ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den Vektorraum

${}H=K^{(S)}\,,$

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

$a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}s_{i}\in S,$

die ${}e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes ${}\operatorname {Abb} \,(S,K)$ (es handelt sich bei ${}H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente ${}s\in S$ den Wert ${}0$ haben). In ${}H$ betrachten wir den Untervektorraum ${}U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$.

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$ und ${}a\in K$.

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$

für ${}i<j$ und beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$.

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu ${}0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

${}\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$

d.h. man bildet den Restklassenraum von ${}H$ modulo dem Unterraum ${}U$.

Die Elemente ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von ${}H$. Die Restklasse von ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ modulo ${}U$ bezeichnen wir mit

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}.$

Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge (v+w)\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,+\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\\\,\end{aligned}}$

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge av\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=a\cdot v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,$

und

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{j-1}\wedge v\wedge v_{j+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=0\,.$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion Anhang 2.1 konstruierten) ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ die ${}n$-te äußere Potenz (oder das ${}n$-te Dachprodukt) von ${}V$. Die Abbildung

$V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

1. Die Elemente der Form ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ mit ${}v_{i}\in V$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$.
2. Die Abbildung

   $V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

   ist multilinear und alternierend.

3. Es ist

   $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge w\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}=-v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,.$

4. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{m}\in V$ gegeben und seien

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}u_{i}\,$

   für ${}j=1,\ldots ,n$. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m\}^{n}}{\left(\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}.\end{aligned}}$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

$V^{n}\longrightarrow H\cong K^{(V^{n})}\longrightarrow H/U$

vor, wobei ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ auf ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ und dies auf die Restklasse ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums ${}U$, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Lemma 16.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 16.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel ${}(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist ${}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}=0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form ${}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

$\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\,$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Vektoren in ${}V$, die miteinander in der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

stehen, wobei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix bezeichnet.

Dann gilt in ${}\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

Beweis

Mit ${}M={\left(b_{jk}\right)}$ ist ${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{jk}w_{k}$ und mit der transponierten Matrix ${}{M^{\text{tr}}}=(a_{ij})$ ist ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}$. Damit sind wir in der Notation von Lemma Anhang 2.3  (4) und es gilt

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq n}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{{\pi (j)}j}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n},\end{aligned}}$

da dann ${}i_{j}=j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

$\Box$

Eigenschaften des Dachprodukts

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

$\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion Anhang 2.1. Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine ${}K$- lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum ${}U\subseteq H$ auf ${}0$ abgebildet. Nach Satz 48.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es daher eine ${}K$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.

$\Box$

Es bezeichne ${}\operatorname {Alt} ^{n}(V,K)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von ${}V^{n}$ nach ${}K$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen ${}K$- Vektorraumstruktur versehen.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(V,K),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung ${}\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei ${}\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Satz 6.1, angewendet auf ${}W=K$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}m$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann bilden die Dachprodukte

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$.

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Lemma Anhang 2.3  (1) ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes ${}w_{j}$ gibt es eine Darstellung ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Lemma Anhang 2.3  (4) die ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also ${}v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit ${}k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Lemma Anhang 2.3  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Lemma Anhang 2.3  (2) das Dachprodukt ${}0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Lemma 14.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), dass es zu jeder ${}n$-elementigen Teilmenge ${}I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine ${}K$-lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$

gibt, die ${}v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf ${}0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf ${}0$ abbildet. Dazu genügt es nach Satz 6.1, eine alternierende multilineare Abbildung

$\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$

anzugeben mit ${}\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit ${}\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei ${}U$ der von den ${}v_{i}$, ${}i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von ${}V$ und ${}W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der ${}v_{i_{k}}$, ${}k=1,\ldots ,n$, eine Basis von ${}W$, und die Bilder von allen anderen ${}n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf ${}0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

$\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$

Diese Abbildung ist nach Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) multilinear und nach Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) alternierend. Nach Fakt ***** ist ${}\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$ genau dann, wenn die Bilder von ${}z_{i}$ in ${}W$ keine Basis bilden.

$\Box$

Bei ${}V=K^{m}$ mit der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{m}$ nennt man die ${}e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}$ mit ${}i_{1}<\ldots <i_{n}$ die Standardbasis von ${}\bigwedge ^{n}K^{m}$.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}m$.

Dann besitzt das ${}n$-te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{n}V$ die Dimension

${\binom {m}{n}}.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 58.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Aufgabe 3.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

$\Box$

Insbesondere ist die äußere Potenz für ${}n=0$ eindimensional (es ist ${}\bigwedge ^{0}V=K$) und für ${}n=1$ ${}m$-dimensional (es ist ${}\bigwedge ^{1}V=V$). Für ${}n=m$ ist ${}\bigwedge ^{m}V$ eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von ${}V$ mit ${}K^{m}$) einen Isomorphismus

$\bigwedge ^{m}V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \det(v_{1},\ldots ,v_{m}).$

Für ${}n>m$ sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension ${}0$.

Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie ${}{\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\cong \operatorname {Alt} ^{n}(V,K)$ zu einer natürlichen Isomorphie

${}\bigwedge ^{n}V^{*}\cong {\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\cong \operatorname {Alt} ^{n}(V,K)\,.$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein dimensionaler Vektorraum. Es sei ${}k\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

$\psi \colon \bigwedge ^{k}V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$

mit

${}(\psi (f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{k}))(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=\det(f_{i}(v_{j}))_{ij}\,$

(mit ${}f_{i}\in V^{*}$ und ${}v_{j}\in V$).

Beweis

Wir betrachten die Abbildung (mit ${}k$ Faktoren)

$V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,(V\times \cdots \times V,K)$

mit

$(f_{1},\ldots ,f_{k})\longmapsto {\left((v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det {\left(f_{i}(v_{j})\right)}_{ij}\right)}.$

Für fixierte ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Korollar 57.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) einem Element in ${}{\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$. Insgesamt liegt also eine Abbildung

$V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$

vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung

$\psi \colon \bigwedge ^{k}V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}.$

Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit der zugehörigen Dualbasis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Nach Satz 58.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) bilden die

$v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}V^{*}$. Ebenso bilden die

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}V$ mit zugehöriger Dualbasis ${}{\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$. Wir zeigen, dass ${}v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}$ unter ${}\psi$ auf ${}(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}})^{*}$ abgebildet wird. Für ${}1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n$ ist

${\left(\psi {\left(v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}\right)}\right)}{\left(v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{k}}\right)}=\det {\left(v_{i_{r}}^{*}{\left(v_{j_{s}}\right)}_{1\leq r,s\leq k}\right)}\,.$

Bei ${}\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}\neq \{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$ gibt es ein ${}i_{r}$, das von allen ${}j_{s}$ verschieden ist. Daher ist die ${}r$-te Zeile der Matrix ${}0$ und somit ist die Determinante ${}0$. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante ${}1$. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von ${}{\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$ überein.

$\Box$

Dachprodukte bei linearen Abbildungen

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung.

Dann gibt es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ eine ${}K$-lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$.

Beweis

Die Abbildung

$V^{n}{\stackrel {\varphi \times \cdots \times \varphi }{\longrightarrow }}W^{n}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}\bigwedge ^{n}W$

ist nach Aufgabe . multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Satz 6.1 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$.

$\Box$

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

die zugehörige ${}K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ surjektiv.
2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ injektiv.
3. Wenn ${}U$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und

   $\psi \colon U\longrightarrow V$

   eine weitere ${}K$-lineare Abbildung ist, so gilt

   ${}\bigwedge ^{n}(\varphi \circ \psi )={\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}\circ {\left(\bigwedge ^{n}\psi \right)}\,.$

Beweis

(1). Es seien ${}w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ gegeben und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ Urbilder davon, also ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$. Dann ist

${}{\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

Nach Lemma Anhang 2.3  (1) ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Satz 58.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem ${}u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ mit ${}u_{i}\in U$ zu zeigen, wofür es klar ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n,m\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte multilineare Abbildung

${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}\times {\left(\bigwedge ^{m}V\right)}\longrightarrow \bigwedge ^{n+m}V$

mit

$(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{m})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\wedge w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{m}.$

Beweis

Da die Dachprodukte ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ bzw. ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{m}$ jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen ${}\alpha =\sum _{i\in I}a_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ und ${}\beta =\sum _{j\in J}b_{j}w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}$ muss dann (wegen der geforderten Multilinearität)

${}{\begin{aligned}\alpha \wedge \beta &={\left(\sum _{i\in I}a_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}\right)}\wedge {\left(\sum _{j\in J}b_{j}w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}\right)}\\&=\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}\wedge w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}\end{aligned}}$

gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ gewählten Darstellungen abhängt. Es sei also ${}\alpha =\sum _{i\in I}c_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten ${}0$ versehen können. Die Differenz ${}\sum _{i\in I}(a_{i}-c_{i})v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ ist dann eine (im Allgemeinen nicht triviale) Darstellung der ${}0$. D.h. ${}\sum _{i\in I}(a_{i}-c_{i})e_{v_{i1},\ldots ,v_{in}}$ ist eine Linearkombination aus den in Konstruktion Anhang 2.1 beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge ${}n$ in jedem Summanden um das Indextupel ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge ${}n+m$. Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der ${}0$ bei der Verknüpfung mit einem beliebigen ${}\beta$ eine Darstellung der ${}0$ entsteht. Daher ist das Dachprodukt ${}\alpha \wedge \beta$ unabhängig von der gewählten Darstellung für ${}\alpha$. Da man die Rollen von ${}\alpha$ und ${}\beta$ vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für ${}\beta$. Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.

$\Box$