Kurs:Funktionentheorie/2/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 2 | 4 | 5 | 5 | 4 | 0 | 6 | 2 | 3 | 5 | 4 | 2 | 0 | 4 | 0 | 52 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen .
- Die geometrische Reihe für .
- Die -Norm einer Potenzreihe.
- Eine Laurent-Reihe.
- Ein kontrahierbarer topologischer Raum .
- Ein Gitter in den komplexen Zahlen .
- Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition/Begriff/Inhalt
- Geometrische Reihe/Komplex/Definition/Begriff/Inhalt
- Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Definition/Begriff/Inhalt
- Laurent-Reihe/Formal/Definition/Begriff/Inhalt
- Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition/Begriff/Inhalt
- Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition/Begriff/Inhalt
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
- Der Integralsatz von Cauchy.
- Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.
- Es seien
, ,
Polynome und es sei
mit verschiedenen . Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit
- Es sei
eine
offene Menge,
eine
komplex differenzierbare
Funktion. Es sei
eine
abgeschlossene Kreisscheibe
und es sei
der stetige Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
- Es seien
reelle Zahlen
(wobei für auch erlaubt ist),
ein Punkt und sei eine
holomorphe Funktion
auf dem
offenen Kreisring
Dann gibt es eine auf konvergente Laurent-Reihe , die dort darstellt.
Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei offen eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei und sei eine komplex differenzierbare Funktion mit
für alle . Zeige
Nach der Produktregel und der Kettenregel ist
Da ebenfalls nullstellenfrei ist, kann man umstellen und erhält
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist
Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .
Zunächst ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal . Wenn nämlich eine Potenzreihe keine Einheit ist, so muss nach Satz 9.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) der konstante Term von gleich sein. Dann kann man aber mit der umindizierten Potenzreihe schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind und von verschiedene Potenzreihen, so ist
und
mit . Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
da die kleineren Koeffizienten alle sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal von erzeugt, wobei das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten von Potenzreihen in dem Ideal ist.
Aufgabe (5 (1+4) Punkte)
- Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
im Entwicklungspunkt .
- Es sei
und es sei
die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung
- Es ist
daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt .
- Mit
ist
wobei wir zur Vereinfachung gesetzt haben. Die Bedingung
lautet somit ausgeschrieben
Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich
Aus (Koeffizient vor )
ergibt sich
Aus (Koeffizient vor )
ergibt sich
Aus (Koeffizient vor )
ergibt sich
Aus (Koeffizient vor )
ergibt sich
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei offen und eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige
wobei die äußere Ableitung bezeichnet.
Für eine -Form ist unter Verwendung von
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist mit den partiellen Ableitungen , und daher ist nach dem Satz von Schwarz.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
Es sei derart, dass
ist. Die Funktion ist dann auf definiert und holomorph. Wir können daher Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) anwenden und erhalten
wobei der Kreisweg um mit Radius sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen ist. Wir schreiben
Der Differenzenquotient konvergiert für gegen gegen die Ableitung . Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gegen , da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von wegen Beispiel 12.6 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gleich .
Aufgabe (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.
Wir betrachten
Für mit ist
Die Menge hat im Nullpunkt einen Häufungspunkt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es ist
und
Die Nullstellen sind alle einfach, daher ist der lokale Exponent in diesen Punkten gleich , in allen anderen Punkten ist er gleich .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine stetige Funktion und sei
der nach unten offene Subgraph der Funktion. Zeige, dass einfach zusammenhängend ist.
Es sei ein stetiger geschlossener Weg. Dabei ist die Projektion von auf die -Achse kompakt und somit kann man davon ausgehen, dass der Weg im Subgraphen der eingeschränkten Funktion
liegt. Diese Funktion ist nach unten beschränkt, sagen wir durch . Durch eine vertikale Verschiebung um können wir annehmen, dass auf nichtnegativ ist. Die Abbildung
zeigt, dass ein Deformationsretrakt von ist. Nach Satz 20.13 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) stimmt die Fundamentalgruppe von mit der des Intervalls überein, sie ist also trivial nach Lemma 20.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei und sei
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.
Es ist , d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei . Es ist
Wir setzen und behaupten, dass
eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt gibt es eine Faktorzerlegung
Wegen und da die Ableitung nicht ist folgt . Jeder Punkt aus besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt ein lokaler Homöomorphismus vorliegt, liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl vor.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.
Lösung Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/2/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über den Repräsentanten für ein Gitter unter Streckungsäquivalenz.
Sei . Da eine reelle Basis bilden, ist insbesondere . Mit erhält man das streckungsäquivalente Gitter
Sei . Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen und vorliegen würde. Also besitzt einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir durch und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.
Aufgabe (0 Punkte)