Kurs:Funktionentheorie/2/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 2 4 5 5 4 0 6 2 3 5 4 2 0 4 0 52




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen .
  2. Die geometrische Reihe für .
  3. Die -Norm einer Potenzreihe.
  4. Eine Laurent-Reihe.
  5. Ein kontrahierbarer topologischer Raum .
  6. Ein Gitter in den komplexen Zahlen .


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
  2. Der Integralsatz von Cauchy.
  3. Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.


Lösung

  1. Es seien , , Polynome und es sei

    mit verschiedenen . Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit

  2. Es sei eine offene Menge, eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

    der stetige Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft.

    Dann ist

  3. Es seien reelle Zahlen (wobei für auch erlaubt ist), ein Punkt und sei eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

    Dann gibt es eine auf konvergente Laurent-Reihe , die dort darstellt.

    Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

    wobei eine einfache Umrundung von im Kreisring ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei offen eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei und sei eine komplex differenzierbare Funktion mit

für alle . Zeige


Lösung

Nach der Produktregel und der Kettenregel ist

Da ebenfalls nullstellenfrei ist, kann man umstellen und erhält


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Lösung

Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .


Lösung

Zunächst ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal . Wenn nämlich eine Potenzreihe keine Einheit ist, so muss nach Satz 9.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) der konstante Term von gleich sein. Dann kann man aber mit der umindizierten Potenzreihe schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind und von verschiedene Potenzreihen, so ist

und

mit . Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

da die kleineren Koeffizienten alle sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal von erzeugt, wobei das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten von Potenzreihen in dem Ideal ist.


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung


Lösung

  1. Es ist

    daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt .

  2. Mit

    ist

    wobei wir zur Vereinfachung gesetzt haben. Die Bedingung

    lautet somit ausgeschrieben

    Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei offen und eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

wobei die äußere Ableitung bezeichnet.


Lösung

Für eine -Form ist unter Verwendung von

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist mit den partiellen Ableitungen , und daher ist nach dem Satz von Schwarz.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.


Lösung

Es sei derart, dass

ist. Die Funktion ist dann auf definiert und holomorph. Wir können daher Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) anwenden und erhalten

wobei der Kreisweg um mit Radius sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen ist. Wir schreiben

Der Differenzenquotient konvergiert für gegen gegen die Ableitung . Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gegen , da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von wegen Beispiel 12.6 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.


Lösung

Wir betrachten

Für mit ist

Die Menge hat im Nullpunkt einen Häufungspunkt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

in jedem Punkt .


Lösung

Es ist

und

Die Nullstellen sind alle einfach, daher ist der lokale Exponent in diesen Punkten gleich , in allen anderen Punkten ist er gleich .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion und sei

der nach unten offene Subgraph der Funktion. Zeige, dass einfach zusammenhängend ist.


Lösung

Es sei ein stetiger geschlossener Weg. Dabei ist die Projektion von auf die -Achse kompakt und somit kann man davon ausgehen, dass der Weg im Subgraphen der eingeschränkten Funktion

liegt. Diese Funktion ist nach unten beschränkt, sagen wir durch . Durch eine vertikale Verschiebung um können wir annehmen, dass auf nichtnegativ ist. Die Abbildung

zeigt, dass ein Deformationsretrakt von ist. Nach Satz 20.13 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) stimmt die Fundamentalgruppe von mit der des Intervalls überein, sie ist also trivial nach Lemma 20.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und sei

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.


Lösung

Es ist , d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei . Es ist

Wir setzen und behaupten, dass

eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt gibt es eine Faktorzerlegung

Wegen und da die Ableitung nicht ist folgt . Jeder Punkt aus besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt ein lokaler Homöomorphismus vorliegt, liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl vor.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.


Lösung Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Repräsentanten für ein Gitter unter Streckungsäquivalenz.


Lösung

Sei . Da eine reelle Basis bilden, ist insbesondere . Mit erhält man das streckungsäquivalente Gitter

Sei . Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen und vorliegen würde. Also besitzt einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir durch und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung