Lösung
- Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der
Limes
-
existiert.
- Eine
lineare Abbildung
-
heißt
winkeltreu,
wenn für je zwei Vektoren die Beziehung
-
gilt.
- Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition/Begriff/Inhalt
- Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition/Begriff/Inhalt
- Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition/Begriff/Inhalt
- Überlagerung/Diskret/Definition/Begriff/Inhalt
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
- Der
Potenzreihenentwicklungssatz
von Cauchy.
- Der
Residuensatz.
Lösung
- Es sei
offen
und
eine reell
total differenzierbare
Abbildung derart, dass das
totale Differential
in jedem Punkt
invertierbar
sei.
Dann ist auf genau dann
komplex differenzierbar,
wenn in jedem Punkt
winkeltreu
und
orientierungstreu
ist.
- Es sei
offen,
eine
komplex differenzierbare
Funktion und
ein Punkt.
Dann wird in einer Umgebung von durch die
Potenzreihe
beschrieben, wobei die Koeffizienten durch
-
gegeben sind, und einen einfachen Umlaufweg um innerhalb von bezeichnet.
- Es sei
ein
einfach zusammenhängendes
Gebiet,
eine endliche Teilmenge,
-
ein
geschlossener
stetiger Weg
und sei
-
eine
holomorphe Funktion.
Dann ist
-
wobei über alle Punkte
summiert wird.
Bestätige, dass bei
die Zahl
-
eine
Quadratwurzel
der
komplexen Zahl
ist.
Lösung
Es ist
Lösung
Es ist
-
für
zu zeigen, was mit
-
äquivalent ist. Mit Hilfe der komplexen Konjugation bedeutet dies
was zu
-
bzw. zu
-
äquivalent ist. Wegen
ist dies richtig.
Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
Lösung
Die reelle
Jacobi-Matrix
von im Punkt ist
-
Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung
-
bezüglich der reellen Basis
und
und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl wird reell durch die Matrix
-
beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
Lösung
Lösung Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die stetige Funktion
-
auf . Wir behaupten, dass nicht zu dem von der Funktion erzeugten Hauptideal gehört, und zwar in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes. Nehmen wir
-
mit einer stetigen Funktion an. Dann gilt außerhalb des Nullpunktes im positiven Bereich die Gleichung
-
Für geht aber gegen und daher geht gegen unendlich und somit kann nicht stetig in den Nullpunkt hinein fortgesetzt werden.
Drücke das
Dachprodukt
in der Standardbasis von aus.
Lösung
Es ist
Es sei
offen
und sei
-
eine reell
total differenzierbare Abbildung.
Zeige, dass für den
Rückzug
gilt
(mit
)
Lösung
Es ist
-
Nach
Lemma 11.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
ist daher
Lösung
Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist
-
Es ist
-
und
-
Daher ist nach
Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
Wir betrachten die durch
-
definierte Funktion
-
Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
-
gegen konvergiert.
Lösung
Bestimme das
Residuum
für die rationale Funktion
-
in jedem Punkt
.
Lösung
Lösung C/Einfach zusammenhängend/Verrückt/Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung
Wenn
-
gilt, so ergibt sich durch ableiten
-
also
-
Da die Exponentialfunktion alle Werte annimmt, ist
-
Lösung
Da die Aussagen lokal sind, können wir nach
Fakt *****
und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf gleichmäßig gegen konvergiert. Es sei
und sei die
Standardumrundung
von mit Radius . Nach
Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
und
Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
ist für
-
Es sei das Maximum von . Dann gilt unter Verwendung von
Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
Es sei fixiert, wir behaupten, dass auf lokal gleichmäßig gegen konvergiert. Sei
fixiert und
vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf mit
.
Für
ist insbesondere
-
Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der gegen gibt es ein derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt. Daher ist
Insbesondere ist
-
und daher gilt für den Differenzenquotienten
Für konvergiert auf dem Kreisrand gleichmäßig gegen und daher existiert der Limes des Integrals nach
Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und somit ist komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von nach
Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
gleich der -ten Ableitung von .