Kurs:Funktionentheorie/7/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 4 4 5 2 4 2 4 3 5 3 1 4 2 10 62




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  2. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  3. Der Ring der konvergenten Potenzreihen.
  4. Eine geschlossene Differentialform.
  5. Der Nebenteil zu einer Laurent-Reihe .
  6. Eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen.


Lösung

  1. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert.

  2. Eine lineare Abbildung

    heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren die Beziehung

    gilt.

  3. Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition/Begriff/Inhalt
  4. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Überlagerung/Diskret/Definition/Begriff/Inhalt


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
  2. Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
  3. Der Residuensatz.


Lösung

  1. Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei. Dann ist auf genau dann komplex differenzierbar, wenn in jedem Punkt winkeltreu und orientierungstreu ist.
  2. Es sei offen, eine komplex differenzierbare Funktion und ein Punkt. Dann wird in einer Umgebung von durch die Potenzreihe beschrieben, wobei die Koeffizienten durch
    gegeben sind, und einen einfachen Umlaufweg um innerhalb von bezeichnet.
  3. Es sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet, eine endliche Teilmenge,

    ein geschlossener stetiger Weg und sei

    eine holomorphe Funktion.

    Dann ist

    wobei über alle Punkte

    summiert wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige, dass bei die Zahl

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit die offene Kreisscheibe in sich abbilden.


Lösung

Es ist

für zu zeigen, was mit

äquivalent ist. Mit Hilfe der komplexen Konjugation bedeutet dies

was zu

bzw. zu

äquivalent ist. Wegen ist dies richtig.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.


Lösung

Die reelle Jacobi-Matrix von im Punkt ist

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

bezüglich der reellen Basis und und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl wird reell durch die Matrix

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.


Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Lemma 6.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

sodass die beiden Seiten übereinstimmen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.


Lösung Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt . Zeige, dass in das maximale Ideal nicht von (also der Identität) erzeugt wird.


Lösung

Wir betrachten die stetige Funktion

auf . Wir behaupten, dass nicht zu dem von der Funktion erzeugten Hauptideal gehört, und zwar in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes. Nehmen wir

mit einer stetigen Funktion an. Dann gilt außerhalb des Nullpunktes im positiven Bereich die Gleichung

Für geht aber gegen und daher geht gegen unendlich und somit kann nicht stetig in den Nullpunkt hinein fortgesetzt werden.


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )


Lösung

Es ist

Nach Lemma 11.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist daher


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges


Lösung

Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist

Es ist

und

Daher ist nach Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Lösung

Zu jedem gibt es ein mit . Wir setzen

Dies ist offenbar eine Nullfolge in . Die zugehörigen Differenzenquotienten sind

Also ist die Folge dieser Differenzenquotienten konstant gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

in jedem Punkt .


Lösung

Es ist

Das Residuum im Nullpunkt ist also gleich , das Residuum in ist gleich , und das Residuum in allen anderen Punkten ist , da dort die Funktion holomorph ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von .


Lösung C/Einfach zusammenhängend/Verrückt/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und sei

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass keine Überlagerung ist.


Lösung

Die Ableitung besitzt den Grad und damit zumindest eine Nullstelle . Es sei . Das Polynom und seine Ableitung besitzen somit in eine Nullstelle, d.h. ist eine mehrfache Nullstelle von . D.h. mit und daher besitzt höchstens verschiedene Nullstellen, also besteht die Faser zu über aus höchstens Elementen. Die Fasern von sind aber außerhalb der Nullstellen der Ableitung -elementig. Bei einer Überlagerung über einer zusammenhängenden Menge ist aber die Faseranzahl konstant.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Es sei

auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von (mit einer Konstanten ). Zeige, dass

ist.


Lösung

Wenn

gilt, so ergibt sich durch ableiten

also

Da die Exponentialfunktion alle Werte annimmt, ist


Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert. Zeige, dass dann holomorph ist und dass die Folge der Ableitungsfunktionen kompakt gegen konvergiert.


Lösung

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Fakt ***** und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf gleichmäßig gegen konvergiert. Es sei und sei die Standardumrundung von mit Radius . Nach Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) und Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist für

Es sei das Maximum von . Dann gilt unter Verwendung von Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))

Es sei fixiert, wir behaupten, dass auf lokal gleichmäßig gegen konvergiert. Sei fixiert und vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf mit . Für ist insbesondere

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der gegen gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt. Daher ist

Insbesondere ist

und daher gilt für den Differenzenquotienten

Für konvergiert auf dem Kreisrand gleichmäßig gegen und daher existiert der Limes des Integrals nach Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und somit ist komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von nach Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gleich der -ten Ableitung von .