Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
-
- Die direkte Summe zu einer Familie
, ,
von
-
Vektorräumen.
- Ein Fehlstand zu einer
Permutation
-
- Das
Minimalpolynom
zu einer
linearen Abbildung
-
auf einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
.
- Eine diagonalisierbare
lineare Abbildung
-
auf einem
-
Vektorraum
.
- Eine
affin unabhängige
Familie von Punkten in einem
affinen Raum
.
Lösung
- Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
-
gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit
-
gilt.
- Man nennt die Menge
-
die direkte Summe der .
- Ein Indexpaar
-
heißt ein Fehlstand zu , wenn
ist.
- Das eindeutig bestimmte
normierte
Polynom
minimalen
Grades
mit
-
heißt das
Minimalpolynom
von .
- Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine
Basis
aus
Eigenvektoren
zu besitzt.
- Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit
-
mit
-
nur bei
-
für alle möglich ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .
- Der
Determinantenmultiplikationssatz.
- Der Satz von
Cayley-Hamilton.
Lösung
- Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
-
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich seien. Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln .
- Es sei ein
Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung
-
- Es sei ein
Körper und sei eine
-
Matrix
über . Es sei
-
das
charakteristische Polynom
zu .
Dann gilt
-
Beweise den Satz über das inverse Element in einer Gruppe .
Lösung
Es sei
-
und
-
Dann ist
-
Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
(jeweils in geeigneten Einheiten).
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a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
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Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
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Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?
Lösung
a) Die Matrix ist
-
da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.
b) Die benötigte Rohstoffmenge ist
-
c) Es geht um das lineare Gleichungssystem
-
das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten
-
Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten
-
Mit
-
erhalten wir die eindeutige Lösung
-
-
und
-
Mit
-
erhalten wir die eindeutige Lösung
-
-
und
-
Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form
-
mit
.
Wir berücksichtigen jetzt noch, dass von diesen Lösungen des linearen Gleichungssystems nur diejenigen sinnvoll interpretiert werden können, bei denen von jedem Produkt eine nichtnegative Menge produziert wird. Dies ergibt vier Abschätzungen, die Bedingungen an festlegen. Wegen der ersten Zeile muss
sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung
-
also
-
Die dritte Zeile führt auf die Bedingung
-
also
-
Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus
-
gewählt werden. Die aus den gegebenen Rohstoffmengen produzierbare Tupel sind also
-
mit
.
Wir betrachten die Menge
-
die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine
kommutative Gruppe
ist. Auf dieser Menge bildet die
Hintereinanderschaltung
von Abbildungen eine
assoziative Verknüpfung
mit der
Identität
als
neutralem Element.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
-
gilt.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
-
nicht gilt.
Lösung
- Es ist
für alle , somit ist
-
für beliebige .
- Es sei die Quadratabbildung, also
-
und es sei
-
die identische Abbildung, also
-
Dann ist einerseits
und andererseits
Somit ist
-
Lösung
Lösung
Zeige, dass die drei reellen Matrizen
-
bezüglich der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bilden.
Lösung
Zur Abkürzung sei
-
Es ist
und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist
Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind
und
invers zueinander.
Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.
Lösung
Es sei
-
eine Diagonalmatrix und
-
eine beliebige quadratische Matrix. Die Produktmatrix ist
-
mit
-
es wird also einfach jede Zeile von mit dem entsprechenden Diagonalelement multipliziert. Die Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalmatrizen , bei denen der -te Diagonaleintrag gleich ist und sonst jeder Diagonaleintrag gleich ist. Wir können also zum Beweis des Determinantenmultiplikationssatzes in diesem Fall annehmen, dass selbst von dieser Bauart ist. Dann entsteht aus dadurch, dass eine bestimmte Zeile mit einer Zahl multipliziert wird und die anderen Zeilen unverändert übernommen werden. Die Beziehung
-
ergibt sich dann einfach aus
der Multilinearität
der Determinante.
Löse das
lineare Gleichungssystem
-
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
Lösung
Es ist
-
und
-
Lösung
Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben
-
mit verschiedenen und führen Induktion über den Grad von . Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms mit
-
Damit ist insbesondere
-
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt
oder .
Nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
bedeutet dies, dass
oder
von geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus
-
und wir können auf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist
-
woraus sich
-
und somit
-
ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf bedeutet, dass in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu in und in für übereinstimmen und die Vielfachheit von sich um reduziert, dies aber auch beim Übergang von nach zutrifft, folgt die Aussage.
Lösung
Es sei
-
eine
obere Dreiecksmatrix.
Zeige direkt
(ohne charakteristisches Polynom),
dass ein Diagonalelement von ein
Eigenwert
zu sein muss.
Lösung
Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit
-
Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor
-
mit
-
gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit
-
und
-
für
.
Damit sind die -ten Zeilen zu
für
erfüllt. Die unteren Zeilen werden
(wir schreiben
-
und
)
zum Gleichungssystem
-
-
-
-
-
bzw. zum linearen Gleichungssystem
-
-
-
-
-
Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit
erfüllt. Da
-
ist für
,
ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm
-
für
von verschieden. Nach
Satz 5.10
kann man also
zu einer Lösung ergänzen.
Zeige, dass die
Matrix
-
über
diagonalisierbar
ist.
Lösung
Beweise den Satz über die jordansche Normalform.
Lösung
Da trigonalisierbar ist, können wir
Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung
-
wobei die Haupträume
-
invariant
sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen
Haupträumen
analysieren, können wir davon ausgehen, dass nur einen Eigenwert besitzt und
-
ist. Es ist dann
-
nilpotent.
Daher gibt es nach
Korollar 27.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
eine Basis, bezüglich der die Gestalt
-
besitzt, wobei die gleich oder gleich sind. Bezüglich dieser Basis hat
-
die Gestalt
-
Lösung
Nach Voraussetzung gibt es eine
lineare Abbildung
-
mit
-
Aus
-
folgt
-
was aufgrund der Bijektivität von direkt
-
also
-
bedeutet. Daher ist injektiv. Zu gibt es zu einem Punkt wegen der Surjektivität von ein mit
-
Daher ist
-
und ist auch surjektiv. Mit der linearen Umkehrfunktion gilt
-
für und . Die bijektive Abbildung ergibt nämlich die Identität